Vamos $$T_{f}(a,x) = \sup \sum_{j=1}^{n}|f(t_{j}) - f(t_{j-1})|$$ ser la variación total de $f$ a $[a,x]$. Quiero mostrar que:
$T_{f}(a,x)$ es absolutamente continua en $[a,b]$ siempre $f$ es absolutamente continuas $[a,b]$.
Mi intento. Tenemos que mostrar que para cada una de las $\epsilon > 0$, hay un $\delta>0$ tal forma que:
$$\sum_{1}^{m}|T_{f}(a,b_{k}) - T_{f}(a,a_{k})| < \epsilon$$ siempre $$\sum_{1}^{m}|b_{k} - a_{k}|<\delta.$$
Tenga en cuenta que $$\sum_{1}^{m}|T_{f}(a,b_{k}) - T_{f}(a,a_{k})| = \sum_{1}^{m}T_{f}(a,b_{k}) - T_{f}(a,a_{k}) = \sum_{1}^{m}T_{f}(a_{k},b_{k}).$$
Elija $\delta$ que satisface la absoluta continuidad de $f$ a $[a,b]$ e $\displaystyle \tilde{\epsilon} < \min\left\{\frac{\epsilon}{m+1},\frac{\epsilon}{2}\right\}$. Así,
$$\sum_{1}^{n}|t_{j}-t_{j-1}|<\delta$$ implica $$\sum_{1}^{n}|f(t_{j}) - f(t_{j-1})|<\tilde{\epsilon}.$$ para cualquier partición de $[a_{k},b_{k}]$. Por lo tanto,
$$T_{f}(a_{k},b_{k}) = \sup \sum_{1}^{n}|f(t_{j}) - f(t_{j-1})|<\frac{\epsilon}{m}.$$
Por lo tanto,
$$\sum_{1}^{m}T_{f}(a_{k},b_{k}) <\epsilon.$$
Que sentido?
