Seleccionamos arbitrariamente n puntos de celosía en un espacio euclidiano tridimensional de modo que no haya tres puntos en la misma línea. ¿Cuál es la menor n para garantizar que debe haber tres puntos x, y, yz entre los n puntos, de manera que el centro de masa del triángulo xyz sea un punto de la red?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
binn
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892
JiminyCricket
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143
La respuesta $19$ ya ha sido dada, incluyendo referencias, así que esto es sólo un numérica de verificación de ese resultado.
La forma específica de la celosía es irrelevante, ya que un punto es un punto de celosía iff es un entero combinación lineal de la celosía de vectores. El centro de masa de tres entramado de puntos es una red punto iff todos los coeficientes de la suma son múltiplos de $3$.
Para encontrar el máximo número de puntos sin un centro de masa en la red, tener en cuenta la distribución de los residuos de los coeficientes de los puntos de $\bmod3$$\mathbb Z_3^3$. No hay tres puntos se pueden agregar a $0\in\mathbb Z_3^3$.
No podemos tener el mismo punto en $\mathbb Z_3^3$ tres veces. Por otro lado, cualquiera de los puntos en $\mathbb Z_3^3$ tenemos, podemos tener dos veces, ya que el único punto que suma a $0$ con las dos copias sería la tercera copia. Por lo tanto, podemos reducir el problema a encontrar el máximo número de diferentes puntos en $\mathbb Z_3^3$ ninguna de las cuales tres se suman a $0$; entonces, el número máximo de no necesariamente diferentes puntos es el doble de eso.
Aquí's código que enumera todos los subconjuntos de a $\mathbb Z_3^3$ y se encuentra que el tamaño máximo de un subconjunto que no contienen un triple que las sumas a $0$. Que el máximo tamaño resulta ser $9$, por lo que el tamaño máximo de un conjunto de no necesariamente diferentes puntos de es $2\cdot9=18$. Por lo tanto, uno más que eso, $19$, es el número de puntos necesarios para obligar a un conjunto de contener una triple con centro de masa en el enrejado.
