Teoría de la medida elemental.

Question

Un estudiante se quejó de que se había atascado en un ejercicio:

Supongamos que $(f_n)$ es una secuencia de funciones medibles sobre algún espacio medible. El conjunto de $x$ tal que $\lim_nf_n(x)$ existe es medible.

Empecé a hablar de la solución estándar, y él objetó que no, que el $f_n$ tomó valores en un espacio topológico arbitrario.

Le aseguré que en un contexto como éste una "función medible" era, en el peor de los casos, de valor complejo. Pero, independientemente de la intención del autor, ¿qué pasa con el caso en que la $f_n$ ¿toman valores en un espacio topológico? Mi conjetura es que debe ser falsa en esa generalidad, simplemente porque no hay manera de que "exista $y\in Y$ con $\lim f_n(x)=y$ " va a llevar a una unión contable. Pero pensando en ello durante unos días no veo ningún contraejemplo.

Answer 1

Si $V$ es cualquier subconjunto denso de $\mathbb{R}$ existe una secuencia de funciones monótonas $f_n: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $f_n[\mathbb{R}] \subset V$ y $\lim_n f(x) = x$ para todos $x$ .

Claramente, si restringimos el codominio a $V$ el conjunto de $x$ para que $\lim_n f_n(x)$ todavía existe es exactamente $V$ .

Answer 2

Esta es sólo una versión más detallada de la respuesta aceptada - Niels debería recibir el crédito de la inteligencia.

Si $V$ es un subconjunto denso de $\Bbb R$ existe una secuencia de funciones monótonas $f_n:\Bbb R\to\Bbb R$ con $f_n(\Bbb R)\subset V$ y $\lim f_n(x)=x$ para todos $x$ .

Prueba: Para $j\in\Bbb Z$ y $n\in\Bbb N$ definir $$I_{n,j}=[j/n,(j+1)/n).$$ Elija $v_{n,j}\in V\cap I_{n,j}$ y que $$f_n=\sum_{j\in\Bbb Z}v_{n,j}\chi_{I_{n,j}}.$$

Está claro que $f_n$ es monótona, ya que $v_{n,j}<v_{n.j+1}$ . Y está claro que $|f_n(x)-x|<1/n$ ya que $|x-v_{n,j}|<1/n$ para $x\in I_{n,j}$ . qed.

Cómo se resuelve el problema: Diga $E\subset\Bbb R$ no es medible y no es denso. Sea $V=\Bbb R\setminus E$ . Construir $f_n$ como en el caso anterior, excepto en lo que respecta a $f_n$ como un mapa de $\Bbb R$ a $V$ (con la topología del subespacio). Entonces $f_n$ es medible, ya que la imagen inversa de cualquier intervalo es un intervalo. Y el conjunto de $x$ tal que $\lim f_n(x)$ existe (en $V$ ) es exactamente $V$ un conjunto no medible.

(Yo estaba que cerrar - estaba atascado en conseguir $f_n:\Bbb R\to V$ medible. Porque estaba pensando en medible como un límite de continuo. En lugar de eso, sólo hay que hacer $f_n$ monótono, hecho).