La solución de $n!+m!+k^2=n!m!$ para enteros positivos $n,m,k$

Question

He estado corriendo en círculos con esta por un tiempo ahora.

Parece que la única solución es $(n,m,k)=(2,3,2)$ pero no sé cómo demostrarlo.

Cosas que he notado: WLOG $n\geq m$ vemos que $k^2$ es un múltiplo de a $m!$. Tengo la sensación de que esta podría ser la clave; tal vez hay una restricción en las plazas y factoriales que sólo es posible a $n=k=2$... he intentado manipular las cosas, la única potencialmente útiles expresión que se me ocurrió fue:

$$(n!-1)(m!-1)=1+k^2$$

He tratado de aritmética modular en ambos lados para obtener algunas condiciones adicionales, pero nada útil. Tal vez podríamos hacer uso de $m!n!<(m+n)!$ a obligado a $k^2?$ (dudo que si desde el lado derecho sopla demasiado rápido).

No sé si alguna de esta información es útil, aunque.

Answer 1

Cuando $n\geq 4$, $n!-1\equiv -1\pmod 4$, así que cuando $n\geq 4$, algunos prime $p\equiv -1\pmod 4$ divide $n!-1$ y por lo tanto se divide $k^2+1$. Pero eso no puede ser cierto para $p\equiv -1 \pmod 4$.

Así conocemos $m,n<4$. Ahora sólo tratar todos los casos.