No, no es en absoluto redundante. Supongamos que $X=\Bbb R$ . $\{K\in K(X):K\subseteq(0,1)\}$ es claramente muy diferente de $\{K\in K(X):K\subseteq\Bbb R\}$ .
Para cada uno de los abiertos $U\subseteq X$ dejar $U^+=\{K\in K(X):K\cap U\ne\varnothing\}$ y $U^-=\{K\in K(X):K\subseteq U\}$ el conjunto de todos los $U^+$ y $U^-$ como $U$ se extiende sobre conjuntos abiertos en $X$ es una subbase para la topología de Vietoris en $K(X)$ . Puede ser útil ver una base para la topología. Para cualquier conjunto abierto $U_1,\dots,U_n$ en $X$ dejar
$$\begin{align*} \langle U_1,\dots,U_n\rangle&=\left\{K\in K(X):K\subseteq\bigcup_{k=1}^nU_k\text{ and }K\cap U_k\ne\varnothing\text{ for }k=1,\dots,n\right\}\\ &=\left(\bigcup_{k=1}^nU_k\right)^-\cap\bigcap_{k=1}^nU_k^+\;; \end{align*}$$
la recopilación de todos esos $\langle U_1,\dots,U_n\rangle$ para $n\in\Bbb Z^+$ y $U_1,\dots,U_n$ conjuntos abiertos en $X$ es una base para la topología de Vietoris.
Añadido: Es perfectamente cierto que $X^+=X^-=K(X)$ Después de todo, esperamos que $K(X)$ ¡para ser un conjunto abierto en sí mismo! De la misma manera, $\varnothing^-=\varnothing$ que sí es un conjunto abierto en cualquier topología.
Puede que te resulte útil investigar con cierto detalle una topología de Vietoris muy sencilla. Sea $X=\Bbb N$ con la topología discreta, de modo que $K(X)$ es simplemente la familia de subconjuntos finitos de $X$ y todo subconjunto de $X$ está abierto en $X$ . Para cualquier $U\subseteq\Bbb N$ , $U^-$ es el conjunto de subconjuntos finitos de $U$ y $U^+$ es el conjunto de conjuntos finitos de números naturales que incluyen al menos un miembro de $U$ . Por ejemplo, si $U$ es el conjunto de números naturales pares, $U^-$ es el conjunto de conjuntos finitos de números naturales pares, y $U^+$ es el conjunto de conjuntos finitos de números naturales que incluyen al menos un número par. Intenta demostrar que la topología de Vietoris sobre $K(\Bbb N)$ es discreto; es muy fácil si se utiliza la base que he descrito, pero no es nada difícil hacerlo directamente desde la subbase dada.
El siguiente paso sería dejar que $X=\{0\}\cup\{1/n:n\in\Bbb Z^+\}$ con la topología que hereda de $\Bbb R$ y para investigar la topología de Vietoris en $K(X)$ . Ahora $K(X)$ incluye no sólo todos los subconjuntos finitos de $X$ sino también todos los conjuntos infinitos que incluyen $0$ .
