Mi formación en matemáticas es muy limitada. Principalmente he leído lógica, teoría de funciones recursivas y teoría de conjuntos.
En la teoría de funciones recursivas se estudian funciones parciales en el conjunto de números naturales.
¿Existen otras áreas de las matemáticas en las que las funciones parciales (no totales) sean importantes? En caso afirmativo, ¿alguien podría proporcionar algunas referencias?
¡Gracias!
Claro. Por ejemplo, funciones meromorfas en análisis complejo son funciones parciales. Inverso multiplicativo es otra función parcial (digamos en un anillo).
Vale la pena mencionar que la tradición matemática en la mayoría de áreas (en mi experiencia) es referirse a una función parcial como una función total al restringir el dominio y no hablar realmente de funciones parciales. Por ejemplo, la mayoría de la gente habla del inverso multiplicativo como una función total, pero definida en el grupo de unidades de un anillo.
Esto funciona bien pero creo que es innecesario. Hay muchos lugares en matemáticas donde sería más natural usar funciones parciales donde la gente no lo hace. Por ejemplo, la composición de morfismos en una categoría es una operación parcialmente definida en pares de morfismos, pero así no se formaliza: en su lugar se formaliza como una familia de operaciones totalmente definidas $\text{Hom}(a, b) \times \text{Hom}(b, c) \to \text{Hom}(a, c)$.
En un sentido, sin duda, es profundamente importante que la función de raíz cuadrada con dominio y codominio los racionales positivos $\mathbb{Q}$ sea parcial (al igual que la función de raíz cúbica, función de cuarta raíz, etc.). Ese es el descubrimiento no trivial y antiguo que nos lleva a introducir el concepto de números irracionales.
De igual manera, es importante que la función de raíz cuadrada, etc. con dominio y codominio los reales $\mathbb{R}$ sea parcial. Al querer un campo algebraicamente completo, introducimos el concepto de números complejos.
Por supuesto, esos casos son muy familiares, ¡pero eso seguro no los hace menos importantes! (Y nota que estos casos no se resuelven al restringir el dominio para evitar la parcialidad, sino --en primera instancia-- al ampliar el codominio.)
En el análisis funcional, el concepto de un operador no acotado está estrechamente relacionado con las funciones parciales. Los ejemplos naturales de operadores no acotados son operadores lineales que están definidos solo en un subespacio propio denso de un espacio de Banach. Por ejemplo, el operador "derivada" es un operador lineal no acotado en el espacio $L_2[0,1]$, pero está lejos de ser total. El uso de funciones parciales resulta ser vital; por ejemplo, el teorema de Hellinger-Toeplitz a menudo se interpreta como diciendo que es necesario considerar operadores parciales para formalizar la mecánica cuántica.
Creo que la razón por la que tienes este interés particular en la función parcial o incluso has oído el término es principalmente porque has leído la teoría de la recursión.
Para elaborar, en la mayoría de las áreas de las matemáticas, por definición, las funciones están totalmente definidas en su dominio. Decir que $f : X \rightarrow Y$ pero $f$ no está definida en todo $X$ no es una práctica matemática habitual. La mayoría de la gente restringiría el dominio para que $f$ esté totalmente definida. Por ejemplo, la función $f(x) = \frac{1}{x}$ donde $x$ proviene de algún campo. Si $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ entonces $f$ sería parcial. La mayoría de la gente modificaría esto para decir $f : \mathbb{R} - \{0\} \rightarrow \mathbb{R}$. En otras áreas, la gente probablemente sería cuidadosa al especificar el dominio y el rango.
Las funciones parciales sí aparecen en otras áreas de las matemáticas. Qiaochu Yuan parece mencionar el estudio de los polos de funciones de valor complejo. Por ejemplo, la fórmula de la residencia proporciona información útil sobre funciones de valor complejo utilizando los polos.
Sin embargo, en la teoría de la computabilidad o la teoría de la recursión, hay un significado útil en introducir funciones totales y parciales. En la teoría de la computabilidad, se estudian subconjuntos de los números naturales y funciones definidas en estos subconjuntos. Debido a que estas funciones y conjuntos corresponden a Máquinas de Turing y algoritmos, sus entradas (por simplicidad) pueden ser codificadas como números naturales. Al especificar el dominio de la función, en el contexto de la teoría de la recursión, como $\omega$, se representa la idea intuitiva de un algoritmo. Además, muchos programas informáticos, máquinas de Turing o algoritmos utilizados en la práctica real no terminan en todas las entradas. Debido a que la teoría de la recursión es el estudio del aspecto computacional de los conjuntos, tiene sentido incluir este tipo de funciones parciales.
Lo anterior es una idea intuitiva de por qué la teoría de la recursión (el estudio de la computación) debería considerar naturalmente las funciones parciales porque los algoritmos naturalmente no se detienen en todas las entradas.
Además, las funciones parciales desempeñan un papel importante en la teoría de la recursión que no se ven en muchas otras áreas de las matemáticas. Las funciones parciales son esenciales para la teoría de la computabilidad. En primer lugar, estás al tanto del teorema de enumeración para funciones computables parciales (es decir, existe la Máquina de Turing universal). Casi todos los teoremas en la teoría de la computabilidad utilizan este hecho. Además, se puede probar que no hay una enumeración efectiva de las funciones computables. Esta enumeración es absolutamente necesaria en muchas de las construcciones como los argumentos de lesiones finitas. Además, los conjuntos c.e. desempeñan un papel muy importante en la teoría de la computabilidad. Están definidos como el dominio de las funciones computables parciales. Muchos problemas naturales en las matemáticas como el Problema de Detención, ecuaciones diofánticas, etc. tienen conjuntos correspondientes que son c.e.
El término función parcial es más ubicuo en la teoría de la computabilidad porque los objetos más fundamentales de la teoría, el teorema de enumeración y los conjuntos c.e., se expresan naturalmente mediante ellos.
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