Es un resultado estándar que $\textrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}_{n},\mathbb{Z}_{m})=\mathbb{Z}_{(n,m)}$ . ¿Es posible demostrarlo con el siguiente resultado?
$\mathbb{Z}_{n} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}_{m} = \mathbb{Z}_{(n,m)}$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Esta es la respuesta para la "dirección opuesta". Todos los productos tensoriales y los homs son más $\mathbb{Z}$ .
El argumento básico se basa en la contigüidad de Hom y el tensor ( Adhesión de Hom y Tensor ). Para los grupos abelianos (aka $\mathbb{Z}$ -) obtenemos
$Hom(M\otimes N,Q) \cong Hom(M,Hom(N,Q))$ .
Esto está bastante claro por la propiedad universal del producto tensorial: los mapas de $M\otimes N$ a cualquier grupo son mapas bilineales de $M \times N$ y esos no son más que mapas de $M$ a $Hom(N,-)$ .
Así que $Hom(\mathbb{Z}_{n} \otimes \mathbb{Z}_{m}, \mathbb{Z}_t)=Hom(\mathbb{Z}_{n}, Hom(\mathbb{Z}_{m}, \mathbb{Z}_t))=Hom(\mathbb{Z}_{n}, \mathbb{Z}_{(m,t)})=\mathbb{Z}_{(n,m,t)}$ , que también es $Hom( \mathbb{Z}_{(n,m)}, \mathbb{Z}_t)$ .
Ahora queremos aplicar la incrustación de Yoneda (véase el primer párrafo de la respuesta aceptada a ¿Puede alguien explicar el lema de Yoneda a un matemático aplicado? ).
La cuestión es a qué categoría. Eso depende de lo que estemos dispuestos a asumir que se conoce el producto tensorial de dos grupos cíclicos. Si suponemos que es cíclico, aplicamos Yoneda a la categoría de grupos cíclicos y listo. Si suponemos que se sabe que es abeliano finito (lo cual es fácil de ver a partir de la construcción del producto tensorial como cociente de un grupo abeliano generado por $m\otimes n$ con cada uno de dichos símbolos de orden finito), y saber que todo grupo abeliano finito es un producto de cíclicos, entonces usando el hecho obvio $Hom(X, A\oplus B)=Hom(X, A)\oplus Hom(X, B)$ aplicamos la incrustación de Yoneda a la categoría de grupos abelianos finitos y ya está. Por último, si sólo sabemos que el producto tensorial es abeliano de generación finita y conocemos el teorema de estructura para grupos abelianos de generación finita, entonces sólo necesitamos una igualdad adicional $Hom(\mathbb{Z}_{n} \otimes \mathbb{Z}_{m}, \mathbb{Z}) = Hom(\mathbb{Z}_{n}, Hom(\mathbb{Z}_{m}, \mathbb{Z}))=0=Hom( \mathbb{Z}_{(n,m)}, \mathbb{Z})$ para aplicar Yoneda a la categoría de grupos abelianos finitamente generados.
The_aLiEn
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Creo que conozco una respuesta directa Si demuestras que R/I⊗R/J ≅ R/I+J , entonces puedes llegar fácilmente a que Zn⊗ZZm=Z(n,m) por el hecho de que puedes escribir Zn como Z/nZ y Z(n,m) como Z/nZ+mZ Si no sabes cómo demostrar que R/I⊗R/J ≅ R/I+J sólo tienes que volver a preguntar y te contestaré... Es un poco largo y hay que usar el lema de nakayama dos veces en él.
