Combinatoria con arreglos de la palabra UNIVERSALMENTE

Question

De cuántas maneras existen para ordenar las letras en UNIVERSALMENTE, de modo que los cuatro vocales que aparecen en dos grupos de dos cartas consecutivas con al menos 2 consonantes entre los dos grupos?

Para esto, vamos a mirar el elogio de la declaración. Al hacer esto, tenemos que mirar cuando sus consonantes entre el grupo de vocales y cuando hay 1 consnant entre los vocales de los clusters.

CASO 1: No hay consonantes entre vocales clúster
Ya que no hay consonante entre los dos pares de vocales clústeres, se puede alinear todos los 4 vocales. Vamos a tratar UIEA como una letra por ahora. Hemos UIEANVRSLLY. Desde UIEA es una carta, tenemos un total de 8 letras. Las formas de arreglar esto es $\cfrac{8!}{2!1!1!1!1!1!1!}$. Ahora vamos a revisar nuestra vocal de clúster. Las formas de reorganizar UIEA es 4!. Por lo tanto, la cantidad de maneras de organizar UNIVERSALMENTE sin consonantes entre vocales clúster es de 4! $\cfrac{8!}{2!}$

CASO 2: 1 consonante entre vocales clúster
Esto es donde estoy atascado. El hecho de que hay 2 L me confunde y no entiendo cómo proceder

Cualquier ayuda se agradece

Gracias!

Answer 1

Y se utiliza como una vocal en la palabra UNIVERSALMENTE, pero vamos a ignorar.

Manejó el primer caso correctamente.

De cuántas maneras pueden las letras de la palabra UNIVERSALMENTE ser dispuestas de modo que las vocales que aparecen en exactamente dos grupos que consta de dos vocales de cada uno, con exactamente una consonante entre los grupos?

Considerar dos casos, dependiendo de si o no que la letra L.

La carta entre los dos grupos de vocales es una L: Los cuatro vocales y el L formar un bloque. Tenemos siete objetos de arreglar, el bloque y el seis diferentes consonantes N, V, R, S, L, Y. Los objetos pueden ser organizados en $7!$ maneras. Desde el L debe estar en el medio de la cuadra, las letras en el bloque puede ser dispuestos en $4!$ maneras. Por lo tanto, no se $7!4!$ arreglos posibles en este caso.

La carta entre los dos grupos de vocales que no es una L: Elegir cual de los otros cinco consonantes se encuentra entre los dos grupos de dos vocales. A continuación, tenemos siete objetos para organizar, de la cuadra, dos Ls, y los cuatro distintas consonantes que no aparecen en el bloque. Los objetos pueden ser organizados en $$\binom{7}{2, 1, 1, 1, 1, 1} = \frac{7!}{2!1!1!1!1!1!}$$ distinguir formas. Desde la consonante debe estar en el medio de la cuadra, las letras en el bloque puede ser dispuestos en $4!$ maneras. Por lo tanto, hay $$\binom{5}{1}\binom{7}{2, 1, 1, 1, 1, 1}4!$$ los arreglos posibles en este caso.

Por lo tanto, hay $$7!4! + \binom{5}{1}\binom{7}{2, 1, 1, 1, 1, 1}4!$$ posibles acuerdos en los cuales exactamente una consonante aparece entre dos grupos de dos vocales.

Se puede tomar si de aquí?

Answer 2

Las 7 letras que no están en los grupos se pueden organizar en $\frac{7!}{2!}$ maneras. Los dos grupos pueden estar a horcajadas sobre cualquiera de las 7 letras. CASE2 puede ocurrir en $7(4!) \frac{7!}{2!}$ maneras. Esta respuesta concuerda con la anterior.