SIMPLIFICAR

Question

simplificar$$\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}}+\sqrt[3]{5-2\sqrt{13}}$ $

1.$\frac{3}{2}$

2.$\frac{\sqrt[3]{65}}{4}$

3.$\sqrt[3]{2}$

4.$1$

Lo igualo a$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$ pero no puedo encontrar$a$ y$b$

Answer 1

Dejemos que$X=\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}}+\sqrt[3]{5-2\sqrt{13}}$ De$(A+B)^3=A^3+B^3+3AB(A+B)$ obtengamos la ecuación$$X^3-3ABX-(A^3+B^3)=0$ $ Tenemos$(AB)^3=({5+2\sqrt{13}})({5-2\sqrt{13}})=-27\Rightarrow {AB}=-3$ y$A^3+B^3=10$. Por lo tanto, nuestra ecuación$$X^3+9X-10=0\iff (X-1)(X^2+X+10)=0$ $ Por lo tanto,$$X=1$$ It is the $ 4 $ de la simplificación solicitada.

Answer 2

Anote su número$\alpha$

Resulta que (después de algún cálculo) que$\alpha^3=10-9\alpha$

1 parece hacer el truco ...

Answer 3

Sugerencia: reescriba$x_{1,2}=5\pm 2\sqrt{13}$ en coordenadas polares$x=|x|\exp(i\phi_{1,2})$. Determine$|x_{1,2}|=\sqrt{5^2+(2\sqrt{13})^2}$ y$\tan(\phi_{1,2})=\frac{\pm 2\sqrt{13}}{4}$

Use la periodicidad de la función exponencial en el dominio complejo$\sqrt[3]{x_{1,2}}=|x_{1,2}|^{1/3}\exp(i\phi_{1,2}/3+2\pi k/3)$, en el cual$k \in \mathbb{Z}$ (tendrá que verificar qué rango de valores para$k$ da nuevas soluciones.