Sé que es posible construir no cíclicos de órdenes pequeños como 4: $\mathbb{Z_2} \times \mathbb{Z_2}$ pero ¿cómo podría construir grupos no cíclicos de órdenes 6 y 24 sin necesidad de buscarlos?
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FuzzyQ
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Esto no siempre es posible. Por ejemplo, todo grupo de orden primo es cíclico.
En términos más generales, es posible demostrar que todo grupo de orden $n$ es cíclico si y sólo si $n$ tiene factorización prima
$$n = p_1p_2 \ldots p_t$$
donde $p_i$ son distintos y $p_i \not\equiv 1 \mod{p_j}$ para cada $i, j = 1, \ldots, t$ .
Por tanto, si un grupo no cíclico de orden $n$ existe, sucede una de las siguientes cosas (o ambas).
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$n$ es divisible por $p^2$ para algún primo $p$ . En este caso $\mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_p$ no es cíclico y, por tanto $\mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_{n/p^2}$ es no cíclico de orden $n$ .
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$n$ es divisible por primos $p$ y $q$ tal que $p \equiv 1 \mod{q}$ . En este caso existe un grupo no abeliano $T$ de orden $pq$ Así que $T \times \mathbb{Z}_{n/pq}$ es no cíclico de orden $n$ .
Goethe
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18
Sugerencia: Considere los productos semidirectos. Por ejemplo, con $6$ sabes que $\text{Aut}(\mathbb{Z}_3)$ tiene orden $2$ por lo que existe un homomorfismo no trivial $\varphi:\mathbb{Z}_2\to\text{Aut}(\mathbb{Z}_3)$ . Del mismo modo, $3\mid |\text{Aut}(\mathbb{Z}_2^3)|$ . Obsérvese entonces que un producto semidirecto es abeliano, si y sólo si es en realidad un producto directo.
PD: La respuesta a su pregunta es no. Ver mi respuesta aquí para una clasificación de los números enteros $n$ tal que el único grupo de orden $n$ es cíclico.
Por ejemplo, si $p$ un $q$ son primos, $p<q$ tal que $q\not\equiv 1 \mod p$ entonces cualquier grupo de orden $pq$ es cíclico. Por ejemplo, $15=3\cdot 5$ sólo tiene el grupo cíclico.
