Supongamos que podría construir un operador que no fuera Hermitiano pero que tuviera todos los valores propios reales o que al menos se pudiera restringir de manera que solo se crearan valores propios reales, ¿por qué este operador no corresponde a una cantidad observable?
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- ¿Por qué utilizamos operadores hermitianos en QM? (4 respuestas )
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Post de medición desea que los subespacios propios para ser ortogonales (y tener la proyección sobre el subespacio propio a enredarse con un estado del dispositivo de medición).
Así que usted quiere los diferentes subespacios propios para ser ortogonales. Y usted quiere ser capaz de evolucionar a un poste de medición de estado que tiene el tipo correcto de los estados. Así que en realidad es sobre el tipo de final que los estados se puede evolucionar. Así que eso es lo que quieres, vamos a hablar acerca de por qué su propuesta no consigue usted que.
Sólo porque los vectores propios son reales no significa que los vectores propios con diferentes valores propios son ortogonales.
La descomposición ortogonal es la primera cosa esencial que usted desea. El requisito de que los autovalores ser real no es tan grande de un acuerdo, usted puede ser que incluso desee modelo de decaimiento (mal) con un complejo de energía. Pero usted todavía desea que los diferentes subespacios propios para ser ortogonales.
Y lo quiere más que eso. Usted realmente quiere que los vectores propios para contener un máximo de ortonormales conjunto, y para un máximo conjunto de desplazamientos de los operadores de obtener un único conjunto tal, el conjunto de vectores propios de la mutua.
Y es después de esto que se puede, por ejemplo, finalmente traer a colación la teoría de la probabilidad (y hacer un espacio muestral y todo eso).
Ahora hay toda una rama de la física (con miles de papeles), basado en los operadores que usted menciona. Pero cuando llega el momento de hacer de la probabilidad y calcular la expectativa de valores, que ... cambiar la geometría .. por lo tanto hacer que los subespacios propios ortogonales en la nueva geometría, haciendo que los operadores exactamente el normal operadores (juego de palabras no es la intención).
Así que teniendo en cuenta que no Hermitian los operadores de las ganancias que nada en el final. Para obtener la probabilidad de parte, puede elegir una geometría donde la observables son Hermitian de todos modos por lo que podría haber trabajado con la geometría y la Hermitian operadores. Ahora, no necesariamente que sea malo si usted consigue las respuestas correctas y si hacerlo de una manera particular pasa a ser computacionalmente más fácil, o de lo contrario agradable entonces bueno para usted. Pero no ortogonalidad de los vectores propios es un problema.
Y ya que he mencionado Hermitian y no Hermitian operadores sí, creo que es un buen momento para señalar, a continuación, cuando usted busca una geometría para hacer los vectores propios ortogonales que usted podría estar haciendo esto porque usted está apuntando para un auto-adjunto del operador en lugar de sólo con el objetivo de un Hermitian operador. Sobre todo en ese frente yo solo quería que sepas que ambos están ahí fuera. Y habiendo real de los autovalores no se dará si los vectores propios no son ortogonales.
No he visto un documento que dice que cualquier auto adjunto operador tiene una realización experimental. Así que podría ser más fácil catalogar cómo las cosas no funcionan, en lugar de pensar en cada suficientemente bueno operador puede ser medido.
Gary Godfrey
Puntos
443
1) Si todos los autovalores de un operador son reales, entonces es Hermitian. Usted puede ver esto por escrito al operador (A) en el vector propio. Entonces todos los valores propios a lo largo de su diagonal y ceros en todas las demás. Por lo tanto, $A^\dagger = A$, lo que significa que es Hermitian.
2) Muchos de los operadores que llamamos "hechos observables" son los generadores de transformaciones. Por ejemplo: J (momento angular) es el generador de rotaciones $e^{i\theta J}$, P es el generador de traducciones $e^{ixP}$, y H es el generador de la traducción en tiempo $e^{itH}$. Si estas transformaciones son para ser unitario para conservar la probabilidad, entonces, el generador debe ser Hermitian. Por ejemplo unitario medio (donde $\theta,x,t$ son reales): $$ (e^{ixP})^\daga e^{ixP}=I $$ $$ e^{-ixP^\daga} e^{ixP}=I $$ $$ -P^\daga + P =0, $$
por lo tanto P es Hermitian.
