¿Qué es "todo finito plano complejo"?

Question

La pregunta es desde el siguiente problema:

Si $f(z)$ es una analítica de la función que se asigna la totalidad finita plano complejo en el eje real, entonces el eje imaginario debe ser asignada a
A. todo el eje real
B. un punto de
C. un rayo
D. abierta intervalos finitos
E. el conjunto vacío

Una búsqueda en Google no devolverá ningún resultado satisfactorio del concepto "todo finito plano complejo". La palabra "todo" y "finito" parece ser una contradicción a mí. Aquí están mis preguntas:

1. ¿Qué es "la totalidad finita plano complejo"?
2. Cuáles son las propiedades que necesita uno para usar sobre la analítica de la función de resolver este problema?

Answer 1

El "todo finito plano complejo" es sólo el plano complejo. Esta frase no se usa muy a menudo, pero puede ser utilizado si se quiere diferenciar entre el plano complejo $\mathbb{C}$ y la esfera de Riemann $\mathbb{C}\cup \{\infty\}$.

La forma más sencilla de responder a esto es utilizar un Poco de Picard, pero sin duda hay formas más fáciles de usar menos potente maquinaria. Por ejemplo, usted podría considerar la posibilidad de $\exp(if(z))$ y el uso de Liouville.

---

Edit: Ya he añadido la referencia de la etiqueta de solicitud, voy a mencionar que el término "finito plano complejo" se utiliza en Silverman, de la traducción de Markushevich monumental "de la Teoría de Funciones de una Variable Compleja", que es una de las referencias clásicas en el análisis complejo.

Answer 2

Sugerencia: no constante de la analítica de la función $f$ es un abierto de asignación, es decir, si $U\subseteq \mathbb{C}$ es un subconjunto abierto, entonces la imagen de a $f(U)$ es también un subconjunto abierto del plano complejo.

Solución completa (el uso de la sugerencia anterior; por favor evitar que al pasar el cursor del ratón sobre el (la plata) en la casilla de abajo si usted no desea ver la solución):

Ya que ningún subconjunto de la recta real puede ser un subconjunto abierto del plano complejo (excepto, por supuesto, para el vacío subconjunto), $f$ debe ser constante y la imagen del eje imaginario (en particular) en $f$ es una sola punto. Por lo tanto, $B$ es la correcta elección.

Alternativa Sugerencia: El número máximo de módulo principio.

Los siguientes ejercicios son relevantes a tu pregunta:

Ejercicio 1: Si no no vacío es subconjunto de a $A$ está abierto en el plano complejo, demostrar que no es el no-constante de la función $f$ que se asigna el plano complejo en $A$. Se puede demostrar este resultado usando sólo la de Cauchy-Riemann ecuaciones?

Ejercicio 2: Si $U$ es un subconjunto abierto del plano complejo, ¿existe un no-constante de la analítica de la función $f$ que se asigna el plano complejo en $U$? ¿La respuesta de cambio si se restringen a la ilimitada abrir subconjuntos $U$ del plano complejo?

Ejercicio 3: Demostrar que existe una analítica de la función $f$ que se asigna el eje imaginario en el plano complejo bijectively sobre el eje real.

Ejercicio 4: Encontrar una invertible holomorphic asignación de abrir la unidad de disco (${z:\left|z\right|<1}$) en la mitad superior del plano (${z:\text{Im}(z)>0}$). Por tanto, resolver el problema de Dirichlet en la mitad superior del plano, utilizando el núcleo de Poisson en la unidad de disco.

Difícil Ejercicio/Resultado Importante (El Mapeo de Riemann Teorema): Si $U$ $V$ es correcta, simplemente se conecta (y no vacío), abrir los subconjuntos del plano complejo, demostrar que no es invertible holomorphic asignación de $U$ a $V$. (Si usted no puede probar esto, a continuación, puede ver la prueba en la mayoría de los textos sobre análisis complejo o en línea. Sin embargo, el resultado es importante y por lo tanto usted debe comprender al menos la declaración).

Ejercicio fácil (basado en el Mapeo de Riemann Teorema): ¿por Qué es la suposición de que ambos abrir conjuntos de ser "adecuada" necesario en el mapeo de Riemann teorema? Más precisamente, ¿por qué no existe una invertible holomorphic mapa desde el plano complejo a la unidad de disco?

Answer 3

¿Qué es "la totalidad finita plano complejo"?

Estoy bastante seguro de que "todo finito plano complejo" se refiere a que el avión sin el punto en el infinito.

Cuáles son las propiedades que necesita uno para usar sobre la analítica de la función de resolver este problema?

Saber cuáles son las propiedades que uno "necesita" podría ser difícil, pero por lo menos puedo decirte que la asignación abierta teorema es suficiente.