Demostrar que $\pi>3$ usando la geometría

Question

Me hicieron esta pregunta hoy en una entrevista.

Pregunta: Demostrar que $\pi>3$ utilizando la geometría.

Me dieron pistas sobre el dibujo de un círculo unitario y, a continuación, la inscripción de un triángulo equilátero y luego proceder. Pero yo no podía seguir. Alguien puede ayudar?

Answer 1

El hexágono inscrito en el círculo unidad ha perímetro $6$. El perímetro del círculo es $2\pi$, por lo tanto $\pi > 3$.

Answer 2

Inscrito $12$-gon en el círculo unidad ha de área $\frac{12}{2}\sin (2\pi/12)=3$. El área del círculo unitario es $\pi$. Por lo tanto $\pi\ge 3$.

Answer 3

No estoy seguro de si esto es redundante, pero:

Si un triángulo equilátero inscrito en un círculo unitario, y si, en cada lado del triángulo inscrito, un triángulo isósceles es más inscrito en el círculo, a continuación, un hexágono equilátero con cada lado de longitud $=1$ resultados; pero, a continuación, $6 < 2\pi$ implica $3 < \pi$.

Así es esto algo que usted está después?

Answer 4

Con un poco de trampa, usted no necesita todo el hexágono...

Deje $O$ ser el centro del círculo unitario con equilátero $\triangle ABC$ inscrito en ella. Extender $\vec {AO}$ para satisfacer el círculo de la D.

Como $BC$ $OD$ son las mediatrices de cada uno de los otros, $\triangle OBD$ es isósceles, y, por tanto,$|BD|=1$. Pero esto debe ser menor que el menor arco subtendido, que tiene una longitud de $\dfrac{\pi}3$.