Estoy trabajando en un integral y me he quedado sin ideas de cómo resolverlo. ¿Alguien tiene una buena alguna buena idea? He intentado varias sustituciones, pero parece que no he podido encontrar la correcta.
$$\int \frac {x e^{\displaystyle\arctan(x)}}{{(1+x^2)}^{3/2}} \ dx$$
El uso de Mark Bennet sugerencia. Deje $x=\tan y$$dx=\sec^2 y\,dy$, luego \begin{align} \int \frac {x e^{\Large\arctan(x)}}{{(1+x^2)}^{\Large\frac{3}{2}}} \ dx&=\int \frac {\tan y\, e^{\Large\arctan(\tan y)}}{{(1+\tan^2y)}^{\Large\frac{3}{2}}} \sec^2 y\,dy\\ &=\int \frac {\frac{\sin y}{\cos y}\, e^{y}}{\sec^3 y} \sec^2 y\,dy\\ &=\int e^{y}\sin y\,dy\\ \end{align} Usando integración por partes, vamos a $u=\sin y$, $du=\cos y\ dy$, $dv=e^{y}\, dy$, y $v=e^{y}$. \begin{align} \int e^{y}\sin y\,dy &=e^{y}\sin y-\int e^{y}\cos y\,dy\\ \end{align} Una vez más, usando integración por partes, vamos a $u=\cos y$, $du=-\sin y\ dy$, $dv=e^{y}\, dy$, y $v=e^{y}$. \begin{align} \int e^{y}\sin y\,dy &=e^{y}\sin y-\int e^{y}\cos y\,dy\\ &=e^{y}\sin y-e^{y}\cos y-\int e^{y}\sin y\,dy+C_1\\ \int e^{y}\sin y\,dy+\int e^{y}\sin y\,dy&=e^{y}(\sin y-\cos y)+C_1\\ 2\int e^{y}\sin y\,dy&=e^{y}(\sin y-\cos y)+C_1\\ \int e^{y}\sin y\,dy&=\frac{e^{y}}{2}(\sin y-\cos y)+C_2\\ \end{align} Desde $\tan y=x$,$\sin y=\Large\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$$\cos y=\Large\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$. \begin{align} \int \frac {x e^{\Large\arctan(x)}}{{(1+x^2)}^{\Large\frac{3}{2}}} \ dx &=\int e^{y}\sin y\,dy\\ &=\frac{e^{y}}{2}(\sin y-\cos y)+C_2\\ &=\frac{e^{\Large\arctan(x)}}{2}\frac{(x-1)}{\sqrt{1+x^2}}+C_2\\ &=\frac{(x-1)}{2\sqrt{x^2+1}}e^{\Large\arctan(x)}+C_2\\ \end{align} Crédito de la respuesta a Mark Bennet. \(^_^)/
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