Una función diferenciable de un subconjunto convexo de $\mathbb{R}^{n}$ a $\mathbb{R}^{n}$ con diferencial positiva-definida es inyectiva.

Question

Intento demostrar que una función diferenciable $f: U \subseteq \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ con $U$ convexo tal que $\langle f'(x) v, v \rangle > 0$ $\forall x \in U$ y $\forall v \in \mathbb{R}^{n}$ con $v\neq0$ es inyectiva.

Este ejercicio está dentro de la sección Teorema de la función inversa del libro.

Fijación de $x,y \in U$ He tratado de definir

$\phi(t) = f(x + t(y-x))$ y está bien definida en $U$ desde $U$ es convexo. He intentado derivar esto, pero como no tengo ninguna hipótesis sobre $\phi^{\prime}(t)$ No puedo utilizar, por ejemplo, el teorema del valor medio. Intento demostrar de alguna manera que para $x,y \in U$ $x\neq y$ Debo tener $|f(x)-f(y)| > 0$ . Pero no estoy haciendo ningún progreso. ¿Alguna pista? Y parece que no necesito usar el Teorema de la Función Inversa, ¿tengo razón?

Answer 1

Tu idea está casi ahí: Estás considerando el segmento de $x$ a $y$ y tratar de utilizar el cálculo de una variable, identificando este segmento con un intervalo. La forma más natural de pasar de un segmento en $\mathbb{R}^n$ a un intervalo es considerar la proyección de $\mathbb{R}^n$ en la línea que pasa por $x$ y $y$ .

Formalmente: Sea $L:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ sea dada por $L(v)=\langle v,y-x\rangle$ . Calculemos la derivada de $L\phi:[0,1]\to\mathbb{R}$ :

Por la regla de la cadena, $\phi'(t)=f'(\phi(t))(y-x)$ . Como los mapas lineales son sus propias derivadas, aplicamos de nuevo la regla de la cadena y obtenemos $$(L\phi)'(t)=L(\phi'(t))=\langle\phi'(t),y-x\rangle=\langle f'(\phi(t))(y-x),y-x\rangle>0,$$ porque estamos asumiendo $x\neq y$ . Por lo tanto, $L\phi$ es estrictamente creciente, y por tanto $L(f(x))=L(\phi(0))<L(\phi(1))=L(f(y))$ . En particular $f(x)\neq f(y)$ .