Cancelación de anomalías en el modelo estándar (calcular la traza simetrizada de generadores)

Question

El Problema

Podemos mostrar que la condición para que el Modelo Estándar sea libre de anomalías es que la traza simetrizada sobre los generadores del grupo de calibre se anule:

$$\begin{align} \text{tr} \big(\{\tau^i , \tau^j \} \tau^k \big) \stackrel{!}{=} 0 \end{align}$$

¿Cómo puedo ver que esto es cierto para todas las posibilidades en el Modelo Estándar?

Intento de solución

Una de las fuentes que he consultado son las notas de Adel Bilal sobre anomalías (disponibles aquí: Lectures on Anomalies). Aquí él escribe explícitamente

Veo que aparecen los hipercaergas, pero básicamente no tengo los conocimientos necesarios para entender por qué aparecen los prefactores de 2, etc. Bilal también escribe anteriormente:

Estoy seguro de que la imagen anterior debería responder mi pregunta, pero de todos modos no entiendo los prefactores.

Tengo cierto entendimiento básico de la teoría de representación y la teoría cuántica de campos introductoria, pero en realidad no estoy familiarizado con el Modelo Estándar. Entonces, si la respuesta pudiera ser formulada con eso en mente, sería útil.

Answer 1

Tomar la traza de un operador sobre todos los estados/partículas significa efectivamente tomar una suma sobre todos los autovalores del operador (las cargas) sobre estos estados/partículas. Así que lo importante es cuántos estados tienes y con qué cargas.

Los números a los que te refieres son simplemente las multiplicidades apropiadas de los estados. Por ejemplo, el primer término en la suma en (7.19) se refiere a los quarks u y d, como se puede ver por el factor (-1/6) de la carga hiperbárica y la tabla 1, pero ¿cómo funciona el conteo?

En este caso, la traza es sobre representaciones de $SU(3)$ por lo que la parte $SU(2)$ del estado puede sacarse de la traza. Dado que hay 2 opciones diferentes de $SU(2)$ (u y d) obtenemos un factor de 2. Esquemáticamente, si $verde$,$azul$ y $rojo$ denotan las cargas/colores $SU(3)$, se puede pensar en ello como $$u_{verde}+u_{azul}+u_{rojo}+d_{verde}+d_{azul}+d_{rojo}=2(verde+azul+rojo)$$ porque el tipo $SU(2)$ de las partículas no importa aquí. Y el lado derecho de arriba es el análogo de $2\times\text{tr}\ t_\alpha^3 t_\beta^3$.

Los otros dos términos en (7.19) son singuletes bajo $SU(2)$ así que obtienen una multiplicidad de 1. ¿Qué pasa con el segundo término en (7.20)? Por la carga hiperbárica vemos que esto se refiere de nuevo a la fila 3 de la tabla, pero esta vez la traza es sobre $SU(2)$. Esto significa que es ciego bajo las cargas $SU(3)$ y dado que hay 3 de ellas (obtenemos esto de la primera columna, las cargas son tantas como la dimensión de la representación) obtenemos un prefactor de 3. Esquemáticamente: $$u_{verde}+u_{azul}+u_{rojo}+d_{verde}+d_{azul}+d_{rojo}=3(u+d)$$ porque esta vez la carga $SU(3)$ puede sacarse de la traza.

Espero que esto sea suficiente para explicar qué está sucediendo con (7.21) y (7.22) también.

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