¿Cómo se $\left\{f\mid f\colon\mathbb{N}\to\mathbb{R}\right\}$ significa 'el conjunto de todos los reales valores de las funciones de un número natural en la variable'?

Question

En la pg. 83 de Hefferon del Álgebra Lineal, dice esto:

El conjunto $\left \{ f\mid f\colon\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R} \right \}$ de todos los verdaderos valores de las funciones de un número natural variable es un espacio vectorial bajo las operaciones.

¿Cómo puedo leer la notación para expresar lo que la frase dice? Yo pensaba que el "|" y ":" decir la misma cosa:" (...)". Así que pensé que alguien iba a escribir lo $\left \{ f\mid \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R} \right \}$. Además, no entiendo el "$\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}$" parte. Vi de la Wikipedia que "$\rightarrow$" significa "implica". Esto hace que la notación de sonido como "$\mathbb{N}$ implica $\mathbb{R}$", lo que no tiene sentido para mí.

Answer 1

$$\begin{array}{ccccc} \{ & f & | & f & : & \mathbb N & \to & \mathbb R & \} \\ \text{the set of all} & f & \text{such that} & f & \text{is a function from} & \mathbb N & \text{to} & \mathbb R & \end{array}$$

Answer 2

$\to$ en este caso significa "a". Por eso, $f\colon\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ es la notación para una función $f$ dominio $\mathbb{N}$ y codominio $\mathbb{R}$.

$|$ $:$ ambos significan "tales que" en el contexto que está sugiriendo. Aquí, sin embargo, el $:$ es parte de la notación de la función, no la descripción del conjunto de la notación. Así, lo que tienen esencialmente es s set contiene todas las funciones de $f$ de dicho formulario. I. e., un conjunto de todas las funciones que se asignan un número natural a un número real.

Answer 3

La notación es ligeramente descuidado, pero no ambiguamente. En este contexto, $:$ se debe leer como "es una función de" e $\to$ se debe leer como "a".

Entonces el conjunto es "el conjunto de todos los objetos de $f$ tal que $f$ es una función de$\mathbb{N}$$\mathbb{R}$". No hay ningún conjunto de todos los objetos $f$, por lo que a priori este conjunto no tiene que existir como una aplicación del Axioma de Comprensión; esto es, donde el descuido que viene.

Answer 4

Si leemos en voz alta, diríamos:

El conjunto de funciones de $f$ de manera tal que el dominio de $f$ $\mathbb N$ y el co-dominio de $f$ $\mathbb R$