Si $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan^6(x) \sec(x) dx = I$ entonces exprese $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^8(x) \sec(x) dx$ en términos de $I$

Question

¿cómo puedo proceder con este ejercicio?

Si

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^6(x) \sec(x) dx = I$$

entonces exprese

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^8(x) \sec(x) dx$$

en términos de $I$ .

Lo que tengo hasta ahora:

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^8(x) \sec(x) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^2(x) \tan^6(x) \sec(x) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left( \sec^2(x) - 1 \right) \tan^6(x) \sec(x) dx = \\ = - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^6(x) \sec(x) dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^6(x) \sec^3(x) dx = -I + \cdots$$

Cualquier ayuda es muy apreciada.

$\\$

(Ejercicio 50 de la sección del libro de Cálculo de Stewart, capítulo 7.2, 7ª edición)

Answer 1

Respuesta corta: intergración por partes.

Respuesta larga: denota la integral que quieres encontrar como $J$ . Entonces tienes

$J = \int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan^8(x)\sec(x)dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan^7(x)d(\sec(x)) = \left.\tan^7(x)\sec(x)\right|_0^{\frac{\pi}{4}} - \int_0^{\frac{\pi}{4}}\sec(x)d(\tan^7(x)) = \sqrt{2} - 7\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan^6(x)\sec^3(x)dx = \sqrt{2}-7\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan^6(x)\sec(x)(1+\tan^2(x))dx = \sqrt{2} - 7I - 7J = J$

$\sqrt{2} - 7I - 7J = J$

Espero que todos los pasos estén claros.

Answer 2

Seamos un poco más generales y veamos las Integrales

$$ I_{m}=\int \tan^m(x)\sec(x)dx\\ I_{m-2}=\int \tan^{m-2}(x)\sec(x)dx $$

ahora sustituye $x=\arctan(y)$ . Obtenemos

$$ I_m=\int\frac{y^m}{\sqrt{1+y^2}}dy=\int y^{m-1}\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}dy $$

Integración por partes:

$$ I_m=y^{m-1}\sqrt{1+y^2}-(m-1)\int y^{m-2}\sqrt{1+y^2}dy=\\ y^{m-1}\sqrt{1+y^2}-(m-1)\int y^{m-2}\frac{1+y^2}{\sqrt{1+y^2}}dy=\\ y^{m-1}\sqrt{1+y^2}-(m-1)(I_m+I_{m-2}) $$

Por lo tanto,

$$ I_m=\frac{1}{m}y^{m-1}\sqrt{1+y^2}-\frac{m-1}{m}I_{m-2} $$

poniendo $m=8$ y añadiendo los puntos finales de integración apropiados $y=0$ y $y=1$ u puede encontrar su pregunta como un caso especial de lo anterior.