La relevancia de la alta vs baja suma de los índices de

Question

He leído el hilo pero no me dan una respuesta satisfactoria a la pregunta siguiente:

Debe ser cierto que el orden de los índices en una suma es relevante? Una suma finita es, esencialmente, sumando todos los elementos de un conjunto. A quién le importa lo que el conjunto está ordenado hacia delante o hacia atrás? Considere los siguientes ejemplos.

Convención común nos dice que

$$\sum_{n=5}^0n=0$$

aunque esencialmente estamos tratando de agregar los elementos de {$n\in[0,5]$} hacia atrás. La validez de este es de vital importancia en el caso siguiente,

$$\sum_{m=0}^n f(n-m)\ne0$$

cuando hacemos una simplificación de cambio de variable $m=n-i$. Entonces, la suma se convierte en

$$\sum_{i=n}^0 f(i)=0, \text{by convention.}$$

Obviamente no ha habido cambios significativos con la suma, cuando acabamos de cambiar una variable definición, ¿por Qué entonces, la convención dicta que el valor de la suma debe cambiar? Parece que esta particular de la suma de la convención es una tontería y debe ser abandonada.

Answer 1

Si usted escribe la suma como $$ \sum_{0\le m\le n}f(n-m) $$ y hacer la sustitución de $m=n-i$, entonces la condición en la suma se convierte en $$ 0\le la n-i\le n $$ que es equivalente a $$ n\ge i\ge 0 $$ que a su vez puede ser escrito como $0\le i\le n$.

Por lo tanto $$ \sum_{0\le m\le n}f(n-m)=\sum_{0\le i\le n}f(i) $$

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Una suma tales como $$ \sum_{n=5}^0 f(n) $$ puede (¿debe?) ser escrito como $$ \sum_{5\le n\le0}f(n) $$ y no hay ningún índice $n$ cumple la condición, por lo que la suma es, por definición,$0$.