Mostrando la continuidad de $xy$ en todos los puntos

Question

Mi amigo me pidió que muestran la continuidad de la $f(x,y) = xy$ en todos los puntos en $\Bbb R^2$. Empecé a

Debemos mostrarles a $|xy-ab| \lt \epsilon$ siempre $d((a,b), (x,y)) < \delta$. Así que tenemos $|x-a| < \delta$ $|y-b| < \delta$ $$|xy ab | = |xy-ab-bx+bx-ay+ay-xy+xy-ab| \\ = |x(y-b) + y(x-a) -(x-a)(y-b)| \\ < |x(y-b)| + |y(x-a)|+|(x-a)(y-b)|$$

Ahora tenemos $|x-a| < \delta$ o $a-\delta<x<a+\delta$ o $|x| < \max (|a+\delta|, |a-\delta|)$ y de manera similar a $|y| < \max(|b-\delta|, |b+\delta|)$

Así obtenemos:

$$|xy-ab| < \delta (\max (|a+\delta|, |a-\delta))+\max(|b-\delta|, |b+\delta|)) \delta ^2 < \epsilon$$

Ahora, ¿cómo concluir de aquí?? Llevamos cuatro casos?

Muchas gracias!

Editar

Como Holo dijo, cometí un error y no escribir módulo de $|a-\delta|$, ahora lo he editado.

Answer 1

No hay necesidad de agregar una resta mucho $$|xy-ab|=|xy-xb+xb-ab|\le|xy-xb|+|xb-ab|=|x||y-b|+|b||x-a|,$$ you can bound $|x|$ usa delta y de ahí

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En tu caso, tienes un pequeño error: $a-\delta<x<a+\delta\implies |x| < \max (|a+\delta|, |a-\delta|)$, $|\cdot|$ es importante. Desde allí se tiene $$|xy-ab| < \delta (\max (|a+\delta|, |a-\delta|)+\max(|b-\delta|, |b+\delta|)) \delta ^2 < \epsilon$$

Ahora podemos decir que el $\delta$ es en la mayoría de las $1$, lo $\max (|a+\delta|, |a-\delta|),\max(|b-\delta|, |b+\delta|)<\max (|a+1|, |a-1|),\max(|b-1|, |b+1|)$, los $2$ son regulares viejos números positivos, vamos a llamarlos $A,B$ respectivamente.

Por lo tanto $$|xy-ab| < \delta (\max (|a+\delta|, |a-\delta|)+\max(|b-\delta|, |b+\delta|)) \delta ^2 < A\delta +B\delta ^2 =\epsilon$$

Ahora, debido a $Ax+Bx^2$ es bijective en $(0,\infty)$ tiene inversa: $g(x)$(Sólo el lado positivo de la Fórmula Cuadrática) para establecer $\delta=\min\{1,g(\epsilon)\}$