Cerrado clases conjugacy en $M_n(k)$

Question

Deje $k$ ser un algebraicamente cerrado de campo, $n$ un entero positivo, y considerar la acción de la $\mathrm{GL}_n(k)$ $M_n(k)$ por conjugación.

Mi profesor me dice que semisimple clases conjugacy están cerrados, y su argumento es el siguiente. Fix $f$ un monic polinomio de grado $n$, y considerar el conjunto de las matrices de $A_f$ cuyo polinomio característico es $f$. A continuación, $A_f$ es cerrado, finito, de la unión de las órbitas (considerando Jordania formas), y de la órbita de la mínima dimensión es el único semisimple clase conjugacy con polinomio característico $f$. Desde órbitas de mínima dimensión están cerradas, este semisimple órbita está cerrado.

Un par de preguntas que tengo, para entender esta prueba:

1. ¿Por qué tenemos que tener en cuenta que el $A_f$ está cerrado? Es cierto, pero no el argumento de la obra sin que por este hecho?
2. ¿Cómo puedo ver que el semisimple órbita en $A_f$ tiene una mínima dimensión?
3. Considerar la semisimple clase $S_f$ $2\times 2$ matrices definidas por el polinomio característico $f(x)=(x-1)(x-2)$. Desde $I_2$ satisface este polinomio, ¿no sería en el cierre de $S_f$? Es decir, no $I_2$ satisfacer cualquier ecuación polinómica de que los elementos de $S_f$ satisfacer, y por lo tanto, $I_2$ es en el Zariski de cierre? Sin embargo, esto no puede ser correcto porque, a continuación, $S_f$ no está cerrado (porque $I_2\notin S_f$). Lo que está mal con mi razonamiento aquí?

Answer 1

He leído sólo 3.

$S_f=\{\begin{pmatrix}a&b\\c&3-a\end{pmatrix}|a(3-a)-bc=2\}$. A continuación, $S_f\subset k^3$ está definido por la relación $a(3-a)-bc=2$. Por lo tanto $S_f$ es Zariski-cerrado. El concepto de annulator polinomio es diferente:

Deje $T_f=\{A|f(A)=(A-I)(A-2I)=0\}$. A continuación,$T_f=S_f\cup\{ I\}\cup \{2I\}$, que es $S_f$ $\cup$ dos puntos aislados.