¿Cómo puedo determinar la fórmula general de esta secuencia?

Question

Estoy tratando de encontrar la fórmula general de la secuencia de $(x_n)$ definido por $$x_1=1, \quad x_{n+1}=\dfrac{7x_n + 5}{x_n + 3}, \quad \forall n>1.$$ He intentado poner $y_n = x_n + 3$, $y_1=4$ y $$\quad y_{n+1}=\dfrac{7(y_n-3) + 5}{y_n }=7 - \dfrac{16}{y_n}, \quad \forall n>1.$$ A partir de aquí, no puedo resolverlo. ¿Cómo puedo determinar la fórmula general de la secuencia anterior?

Con Mathematica, encontré $x_n = \dfrac{5\cdot 4^n-8}{4^n+8}$. Quiero saber un método para resolver el problema, que tienen una determinada fórmula.

Answer 1

Ya que la función de ser iterado es un proyectiva-función lineal, se sigue que, si vamos a $$ \begin{bmatrix} a_n \\ b_n \end{bmatrix} := \begin{bmatrix} 7 & 5 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} ^{n-1} \begin{bmatrix} 1 \\ 1\end{bmatrix}$$ a continuación,$x_n = \frac{a_n}{b_n}$. Ahora, para descubrir los poderes de la matriz $\begin{bmatrix} 7 & 5 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ todo lo que necesitas hacer es diagonalize.

Answer 2

Aquí es un método que he leído de un libro. Sin embargo, yo no creo profundamente por qué funciona en general.

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Si existe números reales $\alpha$, $\beta$ y $r$ tal que

$$\frac{a_{n+1}-\beta}{a_{n+1}-\alpha}=r\cdot\frac{a_n-\beta}{a_n-\alpha}$$

para todos los $n\in\mathbb{N}$, entonces la secuencia de $\{b_n\}$ donde $b_n=\frac{a_n-\beta}{a_n-\alpha}$, sería geométricas y puede ser resuelto fácilmente.

Así que nuestro trabajo es encontrar $\alpha$, $\beta$ y $r$.

Sustituyendo la ecuación recurrente,

\begin{align} \frac{a_{n+1}-\beta}{a_{n+1}-\alpha}&=\frac{\frac{7a_n+5}{a_n+3}-\beta}{\frac{7a_n+5}{a_n+3}-\alpha} \\ &=\frac{7a_n+5-\beta(a_n+3)}{7a_n+5-\alpha(a_n+3)} \\ &=\frac{(7-\beta)a_n+(5-3\beta)}{(7-\alpha)a_n+(5-3\alpha)} \\ &=\frac{7-\beta}{7-\alpha}\cdot\frac{a_n-\left(-\frac{5-3\beta}{7-\beta}\right)}{a_n-\left(-\frac{5-3\alpha}{7-\alpha}\right)} \end{align}

Por lo tanto el truco debería funcionar si no hay una solución para $\alpha=-\frac{5-3\alpha}{7-\alpha}$$\beta=-\frac{5-3\beta}{7-\beta}$$r=\frac{7-\beta}{7-\alpha}$.

Tomando nota de que $\alpha$ $\beta$ son raíces de $u=-\frac{5-3u}{7-u}$.

\begin{align} u&=-\frac{5-3u}{7-u} \\ u(7-u)&=-(5-3u) \\ u^2-4u-5&=0 \\ u&=-1\enspace\text{or}\enspace 5 \\ \end{align}

Tomar $(\alpha,\,\beta)=(-1,\,5)$. $r=\frac{7-5}{7-(-1)}=\frac{1}{4}$ de la siguiente manera.

$$b_1=\frac{a_1-\beta}{a_1-\alpha}=\frac{1-5}{1-(-1)}=-2$$

Para todos los $n\in\mathbb{N}$,

$$b_n=r^{n-1}\cdot b_1=\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}(-2)=\frac{-8}{4^n}$$

De nuevo sustituto en $b_n=\frac{a_n-\beta}{a_n-\alpha}$.

\begin{align} \frac{-8}{4^n}&=\frac{a_n-5}{a_n-(-1)} \\ -8(a_n+1)&=4^n(a_n-5) \\ a_n&=\frac{5\cdot 4^n-8}{4^n+8} \end{align}

El mismo resultado dado por Mathematica.