Generalizada ternas Pitagóricas de la construcción.

Question

Todos los primitivos ternas Pitagóricas $(a, b, c) : \{ a^2 + b^2 = c^2 \} \wedge \{ a \equiv 0 \pmod{2} \}$ puede ser expresado en la forma:$$\{ a = 2pq, b = p^2 - q^2, c = p^2 + q^2 \}$$ for positive integers $p, q : \{ \gcd(p,q) = 1 \} \wedge \{ p \no\equiv q \pmod{2} \}$.

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Yo conjeturó que esto también se aplica para imprimitive ternas Pitagóricas (en este caso $p,q$ no necesariamente son relativamente primos y de enfrente de la paridad).

Sin embargo, no pude encontrar ningún contraejemplos y actualmente estoy atascado en el desarrollo de una prueba.

Es por eso que recurro a usted. Realmente agradecería cualquier contraejemplos, pruebas, ideas, etc.

Gracias.

Answer 1

Tristemente, esto no es cierto para el caso general. Más fácil contraejemplo es tomar la $3-4-5$ derecho triángulo y multiplicar cada lado por $3$. $15$ no puede ser escrito como la suma de $2$ plazas. La suma de $2$ plazas no pueden ser congruentes a $3\pmod4$.