Desigualdades en la norma de la matriz

Question

Dejemos que $K=(A+D)^{-1}A$ donde $A$ es simétrica positiva definida y $D$ es una matriz diagonal con elementos positivos. ¿Es cierto que $\|K\|\leq 1$ donde $\|\cdot\|$ es el inducido $2$ -¿norma?

Gracias.

Answer 1

Si $AD=DA$ la desigualdad es verdadera: se tiene, si $d_n$ es la menor entrada en la diagonal de $D$ , $$ A+D\geq A+d_nI. $$ Así que $(A+D)^{-1}\leq(A+d_nI)^{-1}$ y así $$ (A+D)^{-1}A=A^{1/2}(A+D)^{-1}A^{1/2}\leq A^{1/2}(A+d_nI)^{-1}A^{1/2}=(A+d_nI)^{-1}A $$ Ahora la desigualdad se deduce del hecho de que las desigualdades entre elementos positivos conservan la norma, y $(A+d_nI)^{-1}A$ es positivo y tiene valores propios $\lambda/(\lambda+d_n)$ .

En general, la respuesta es no. Por ejemplo, con $$ A=\begin{bmatrix} 2&1\\1&1\end{bmatrix},\ \ D=\begin{bmatrix} 1&0\\0&2\end{bmatrix}, $$ tenemos $$ K=(A+D)^{-1}A=\frac13\,\begin{bmatrix}5&4\\7&4\end{bmatrix}. $$ Entonces $\|K\|\geq 7/3>1$ .