He escrito casi todo y luego me he dado cuenta de dónde ha estado mi problema (idiota)... Así que voy a publicar esta pregunta de todos modos, sólo para que otras personas que están buscando este cálculo en línea puede encontrar una respuesta. Todo lo que está escrito aquí se puede encontrar en Cartan&Eilenberg.
Mi objetivo es calcular (tan explícitamente como sea posible) la estructura del producto copa en la cohomología de Tate de un grupo cíclico $G$ .
He buscado mucho la respuesta en internet y en muchos libros, y el único sitio donde he encontrado lo que buscaba es en Cartan&Eilenberg- Álgebra Homológica. Cuando intenté verificar las ecuaciones dadas me encontré con un problema, que se debió a un error tonto mío. La solución allí es algo así:
Dejemos que $X=X_\bullet$ sea una resolución completa para $G$ . Por $X\otimes X$ nos referimos al doble complejo $X_r\otimes X_s$ con diferenciales $d'=d\otimes \text{id}$ y $d''=\text{id}\otimes d$ . Entonces un cartografía $\phi:X\to X\otimes X$ se define como una familia de $G$ -homorfismos $\phi_{r,s}:X_{r+s}\to X_r\otimes X_s$ satisfaciendo
- $\phi_{r,s}d=d'\phi_{r+1,s}+(-1)^rd''\phi_{r,s+1}$ .
- $\epsilon=(\epsilon\otimes\epsilon)\phi_{0,0}$
où $\epsilon$ es el mapa de aumento $X_0\to\mathbb{Z}$ que se da en la resolución completa. (En el libro no añadieron el signo $(-1)^r$ pero han hecho algún comentario sobre el cartel que no he entendido. La fórmula escrita aquí es correcta).
A partir de dicho mapeo obtenemos un producto taza definido sobre las co-cadenas por $f\smile g:=(f\otimes g)\phi_{r,s}$ . Mi pregunta es sobre la construcción explícita de $\phi$ en el caso cíclico.
Por lo tanto, supongamos que $G$ es cíclico de orden $n$ con generador $x$ . Damos una resolución completa por $X_i=\mathbb{Z}[G]$ y los diferenciales $d_{2i}=N\cdot:X_{2i}\to X_{2i-1}$ (multiplicación por $N=\sum x^k$ ), $d_{2i+1}=T\cdot:X_{2i+1}\to X_{2i}$ (multiplicación por $T=x-1$ ), y el mapa de aumento $\epsilon:x_0\to \mathbb{Z}[G]$ por $\epsilon(1)=1$ .
Ahora la definición de $\phi_{r,s}$ se da en el libro de $$ \phi_{r,s}(1) := \begin{cases} 1\otimes 1 & \text{if } r \equiv 0 (\text{mod }2)\\ 1\otimes x & \text{if } r+1\equiv s \equiv 0 (\text{mod }2)\\ \sum_{0\le l< k\le n-1}x^l\otimes x^k & \text{if } r\equiv s \equiv 1 (\text{mod }2) \end{cases}$$
Mi problema fue que me parece que la primera propiedad de un mapeo no se cumple. mi error fue que durante mi verificación de la primera propiedad no usé las dimensiones correctas para $d',d''$ .
Actualmente estoy escribiendo esto con más detalle en sharelatex.com, enviaré un enlace aquí cuando haya terminado. (Esto incluirá las ecuaciones reales en los grupos de cohomología)
