Levantamiento de una tangente paquete

Question

Tengo un problema con Kuranishi del teorema en la teoría de la deformación. Voy a tratar de formular en términos generales, para luego describir la situación particular.

Deje $\pi : M \to S$ ser un suave haz de fibras - es decir $M$ $S$ son lisas, colectores y $\pi$ es un surjective de la inmersión. Es asociada a una surjective de morfismos de vector de paquetes de $ \pi_* : T_M \to \pi^* T_S$. Quiero encontrar a una elevación de $\pi^* T_S$ a $T_M$.

Supongamos que yo pueda encontrar una suave mapa de $f : S \to M$ que satisface $\pi \circ f = id_S$. Esto induce una inyectiva mapa de $T_S \to f^*T_M$. Puedo levantar esta a un mapa de $\pi^* T_S \to T_M$? ¿Y si algunos datos extra que se da, como una métrica en $S$, o una familia de métricas $g_s$ sobre las fibras $T_M |_{M_s}$ (donde $s$ es un parámetro de $S$)?

Básicamente estoy tratando de utilizar Kuranishi del teorema para obtener algo como Siu canónico ascensores. En esta situación, $M$ es el producto de un fijo liso colector y el espacio de sus estructuras complejas, y $S$ es un complejo colector (abierto a la pelota, incluso). El mapa de $\pi$ es el paso al cociente por la acción del grupo de diffeomorphisms. Si fijamos un hermitian métrica $h$$M_0$, luego Kuranishi da un mapa de $f : S \to M$ que se cumple la hipótesis anterior. Me han dicho que Kuranishi debe inducir una elevación de $\pi^*T_S$ a $T_M$, pero me parece que no puede averiguar cómo.

Answer 1

Tal vez ahora usted ya no necesita una respuesta, y no estoy seguro de que han entendido realmente tu pregunta, pero de todos modos he intentado.

Mis anotaciones
En este apartado revisaremos brevemente mi notaciones y definiciones, de modo que usted puede comprobar fácilmente si y cómo están de acuerdo con la suya.

Dado un vector paquete de $\pi:E\to P$, y un buen mapa de $f:M\to E$, con el pull-back de $\pi$ a través de $f$ me refiero a un vector paquete de $f^\ast\pi:f^\ast E\to E$ junto con un buen paquete de mapa de $\pi^\ast f$$f^\ast\pi$$\pi$$f$, que resolver el siguiente universal problema de asignación:

si $\rho:F\to N$ es un vector paquete, $g:N\to M$ es un buen mapa y $\phi$ es un buen paquete de mapa de $\rho$ $\pi$ $f\circ g$entonces existe un único suave mapa de $h:F\to f^\ast E$ con la propiedad de que $(f^\ast\pi)\circ h=g\circ\rho$$(\pi^\ast f)\circ h=\phi$.

La respuesta
Al $f:M\to N$ es un buen mapa, construimos $(f^\ast\tau_N,\tau_N^\ast f)$, el pullback a través de$f$$\tau_N$, la tangente paquete de más de $N$. Desde el diagrama conmutativo $\tau_N\circ(Tf)= f\circ\tau_M$ y la anterior característica universal del vector paquete de pullbacks nos encontramos con que no existe un único suave mapa de $f_\ast:TM\to f^\ast(TN)$ tal que $$(\tau_N^\ast f)\circ f_\ast=Tf\ \mathrm{and}\ (f^\ast\tau_N)\circ f_\ast=\tau_M.$$

De forma análoga al $g:N\to M$ es otro liso mapa que hacer la misma construcción, y, la combinación de diagramas conmutativos, es fácil darse cuenta de que $$(\tau_N^\ast f)\circ f_{\ast}\circ(\tau_M^\ast g)\circ g_\ast=T(f\circ g).$$

Ahora, de esto podemos concluir que:

si $f$ es una izquierda inversa de a $g$ $(\tau_N^\ast f)\circ f_{\ast}\circ(\tau_M^\ast g)$ es una izquierda inversa de a $g_\ast$.