Lo functor no $K(G, 1)$ representan para nonabelian $G$?

Question

Para $G$ un grupo abelian, el Eilenberg-Maclane espacio de $K(G, n)$ representa singular cohomology $H^n(-; G)$ con coeficientes en $G$ sobre el homotopy categoría de CW-complejos. Si $n > 1$, $G$ debe ser abelian, pero para $n = 1$ también hay Eilenberg-Maclane espacios para $G$ nonabelian, así que uno podría imaginar que representan algún tipo de nonabelian cohomology $H^1(-; G)$. Es este functor conocido por un nombre mejor, y lo que se sabe acerca de él? En particular,

• ¿Tiene una alternativa de definición a lo largo de las líneas de la definición habitual de singular cohomology?
• Hay un universal coeficiente teorema?

Answer 1

K(G,1) aka BG clasifica G-paquetes - es decir, G-cubrimientos, si G es discreto. (Los detalles se pueden encontrar por ejemplo, en Mayo del Concisa Curso de Topología Algebraica.)

Definición habitual de Cech cohomology obras para$H^1(X;G)$, incluso en los no-abelian caso (pero es habitual que se cocycle definición de G-bundle).

Como para universal coeficiente de teorema, incluso si $H_1(X;\mathbb Z)$ es trivial, $H^1(X;G)$ no tiene por qué ser; pero (si G es discreto) $H^1(X;G)=\operatorname{Hom}(\pi_1(X);G)/\text{conjugation}$ (referencia: Hatcher, 1B.9). (Pero si uno desea considerar BG general G, las cosas se ponen peor - "$H^1$" ya no se define por 2-esqueleto de X. tal vez, AHSS de cohomology a la K-teoría puede ser visto como una especie de "universal coeficiente espectral de la secuencia" de $G=U=\lim U(n)$.)