Dada la gráfica de un campo vectorial, ¿cómo puedo saber si es conservador o conservador no?
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Uno no siempre puede hacer esta determinación visualmente, pero se puede solicitar algunos ad hoc pruebas que garantizan una o la otra. Por ejemplo (aquí suponemos que el vector dado de campo $\bf F$$C^1$):
- Si uno puede encontrar, por ejemplo, una suave, orientado bucle $\gamma$ de manera tal que en cada punto de $\gamma$ la unidad de vector tangente hace cero, agudo o de ángulo recto, y al menos en un punto donde el campo vectorial es distinto de cero hace que un cero o de un ángulo agudo con el vector de campo, entonces el vector de campo no puede ser conservador: Esta condición garantiza que $\int_{\gamma} {\bf F} \cdot d{\bf s} > 0$, pero para un conservador campo de vectores que la integral es cero para todos los bucles $\gamma$.
- Si el campo vectorial es invariante bajo rotación alrededor de un cierto punto, entonces es conservador: traducir se puede tomar el distinguido punto de ser el origen, y por la construcción de $\bf F$ tiene el potencial de $f\left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)$ donde $f(r) := \int_a^r {\bf F}(x, 0) \cdot d{\bf x}$ donde $d{\bf x}$ es el infinitesimal vector que apunta en el sentido positivo del $x$-dirección y $(a, 0)$ es algún punto en el dominio de $\bf F$ positivo $x$- la mitad del eje. (Estrictamente hablando, esta construcción se supone que el dominio de $\bf F$ está conectado.)
jay.lee
Puntos
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Si es conservador, a continuación, $\vec F = \nabla \phi $ para algunos potenciales $\phi$, utilizando un método muy útil de identidad, $\nabla \times \vec F = \nabla \times \nabla\phi = 0$, esto significa que si el campo es conservativo, no se enroscan alrededor de cualquier punto será líneas rectas, algo que se ve como el eléctrico o gravitationnal campo !
