Es la norma de la topología de la misma como la topología inicial generado por la norma de la función?

Question

Tengo una pregunta acerca de la topología de una normativa espacio vectorial.

Una normativa espacio vectorial $(X, \| \cdot \|_X)$ naturalmente viene con una topología, conocida como la norma de la topología fuerte o la topología en $X$, generado por el abierto de bolas $B (x, r) := \{y \in X : \|y-x\|_X < r\}$. Es este el mismo que el de salida topología en $X$ generado por la norma de la función $\| \cdot \|_X : X \to \mathbb{R}$, es decir, el más pequeño de la topología que hace esta norma función continua?

Yo pensaba que sí. Pero luego, me di cuenta de una propiedad de la topología inicial de la siguiente manera:

Si $X$ tiene la topología inicial generado por una familia de la $\mathcal{F}$ de las funciones,luego de una red de la $\langle x_\alpha\rangle$ converge a $x \in X$ fib $\langle f(x_\alpha)\rangle$ converge a $f(x)$ todos los $f \in \mathcal{F}$.

Esto implicaría que una secuencia $\{ x_n :n \in \mathbb{N}\}$ converge a $x \in X$ fib $\| x_n\|$ converge a $\|x\|$, que en general creo que no es cierto.

¿Por qué tengo esta contradicción? ¿De dónde me salen mal?

Gracias de antemano por cualquier ayuda!

Answer 1

Lo que han encontrado es que la norma de la topología es que no la topología inicial con respecto a la norma de la función.

Otra forma de ver que la norma habitual de la topología no es la topología inicial es la siguiente: vamos a $n:X \to \Bbb R$ denotar la norma de la función $n(x) = \|x\|$. Arreglar cualquier $x_1,x_2$ tal que $\|x_1\| = \|x_2\| = 1$. Entonces para cualquier $U = (a,b) \subset \Bbb R$,$x_1 \in n^{-1}(U) \iff x_2 \in n^{-1}(U)$. Por lo tanto, en la topología inicial, en cada barrio de $x_1$ es un barrio de $x_2$ y viceversa, es decir, que los puntos son topológicamente indistinguibles. Su topología inicial no es ni siquiera Hausdorff.

Es correcto, sin embargo, decir que la costumbre de la norma topología la topología inicial con respecto a la familia de funciones de $\mathcal F = \{n_x : x \in X\}$ donde $$ n_x(y) = \|x - y\| $$ Alternativamente, tal vez podríamos describirlo como el más áspero de la topología tal que $n(x)$ y el mapa de $x,y \mapsto x-y$ ( $X \times X$ $X$) es continua.

Answer 2

La topología en $X$ no es generado por la norma funcione de esta manera.

El abierto de los conjuntos generados por $\| \cdot \|_X : X \to \mathbb{R}$ son sólo el abierto de bolas y abierto "conchas" centrado en el origen. Esto no incluso definir una topología de Hausdorff. De hecho, si $\|x\| = \|y\|$, a continuación, un conjunto abierto que contiene a $x$ si y sólo si contiene $y$.

Lo cierto es que la topología de un espacio métrico $(M,d)$ es la más débil de la topología de ejemplo, el mapa se $d \colon M \times M \to \mathbb R$ es continua.