Violación del criterio alternativo irrelevante de equidad en una comparación por pares

Question

Estoy enseñando a mis alumnos los criterios de equidad del sistema de votación, trabajando para teorema de imposibilidad de arrow .

Uno de los métodos de votación se denomina método de comparación por pares: los votantes clasifican a cada uno de los candidatos de mayor a menor preferencia. Para contar los votos, los escrutadores comparan cada par de candidatos. Si el candidato X es más preferido que el candidato Y, entonces X recibe un punto. (Si empatan, cada uno recibe medio punto.) Al final de las comparaciones, se elige al candidato con más puntos.

Discutimos los criterios para que un sistema de votación sea justo. Un criterio en particular es el "criterio de la alternativa irrelevante" que establece:

Si se celebra una elección y se declara un ganador, este candidato ganador debe seguir siendo el ganador en cualquier recuento de votos como resultado del abandono de uno o más de los candidatos perdedores.

¿Se le ocurre a alguien un ejemplo de cuándo el método de comparación por pares viola el criterio de la alternativa irrelevante?

Answer 1

Supongamos que tenemos tres candidatos $A,B,C$ y cuatro votantes con preferencias como las siguientes:

$$\begin{array}{c | c | c | c} 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline A & A & C & B\\ C & C & B & A\\ B & B & A & C \end{array}$$

Entonces $A$ con $B$ y ritmos $C$ así lo ha hecho $3/2$ puntos, mientras que $B$ con $A$ y pierde ante $C$ así lo ha hecho $1/2$ puntos, y $C$ pierde a $A$ y ritmos $B$ así lo ha hecho $1$ punto, por lo tanto $A$ gana. Pero si $C$ se retira, $A$ y $B$ empate.

Esto es lo peor que puede pasar con tres candidatos, ya que si $B$ late $A$ cara a cara, entonces $B$ tiene al menos $1$ punto y $A$ tiene como máximo $1$ punto. Sin embargo, con cuatro candidatos $A,B,C,D$ y seis votantes podemos tener:

$$\begin{array}{c | c | c | c | c} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline A & A & C & C & B & B\\ C & D & D & D & A & A\\ D & B & B & B & D & D\\ B & C & A & A & C & C \end{array}$$ Entonces $A$ tiene $2$ puntos, $B$ tiene $3/2$ puntos, $C$ tiene $1$ punto y $D$ tiene $3/2$ puntos, por lo que $A$ gana. Pero si $D$ se nos cae la mano:

$$\begin{array}{c | c | c | c | c} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline A & A & C & C & B & B\\ C & B & B & B & A & A\\ B & C & A & A & C & C\\ \end{array}$$

Entonces $A$ tiene $1$ punto, $B$ tiene $3/2$ puntos y $C$ tiene $1/2$ punto así $B$ gana.