Me gustaría calcular los supremos de estos conjuntos:
$\{\sqrt[n]{n}:$ $n \in \mathbb{N}\}$ y $ \{\sqrt[x]{x}:$ $x \in \mathbb{R}_{>0}\}$
No sé cómo empezar, se agradece cualquier ayuda.
Respuesta
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Para $x^\frac{1}{x}$ si se toma la derivada con respecto a $x$
$$\frac{\partial}{\partial x}\sqrt[x]{x}= x^{\frac{1}{x}-2}(-\ln x+1)$$
y si se pone a cero se obtiene $\ln~x=1, \Rightarrow x=e$ . Por lo tanto:
$$ \sup \{\sqrt[x]{x}:x \in \mathbb{R}_{>0}\}=\sqrt[e]{e}$$
Tenga en cuenta que para $x<e$ la deivada es positiva (la función es ascendente), y para $ x>e$ la función es descendente ( $x=e$ es el máximo); por lo tanto, para los valores enteros, el suprememum está en $x=2$ o $x=3$ , al comprobarlo obtenemos $2^{\frac{1}{2}}=1.4142$ y $3^{\frac{1}{3}}=1.4422$ Por lo tanto:
$$ \sup \{\sqrt[n]{n}:n \in \mathbb{N}\}=\sqrt[3]{3}$$
