¿Cuáles son exactos secuencias, metafísicamente hablando?

Question

¿Por qué es natural o útil para organizar los objetos (de algunos categoría apropiada) en exacta secuencias? Exacto, las secuencias son omnipresentes, y me he encontrado con ellos lo suficiente como para saber que ellos pueden proporcionar una información muy útil y eficiente marco para trabajar dentro. Sin embargo, no tengo idea de lo que este marco es realmente, o por qué es eficaz.

Así que, mis preguntas son:

1.) Lo que hace exacta secuencias de objetos naturales?

2.) ¿Qué es lo que codificar, hablando en general? O si usted es incapaz de pensar en una respuesta satisfactoria en general, ¿cuáles son algunos ejemplos específicos de exacta de las secuencias que codifican algunas propiedad deseable?

Por favor, me puso recta! Parece que todas las referencias que he llegado a través de sólo encyclopedically a desarrollar la idea de una secuencia exacta, evitando que el lector de cualquier calificación o exposición.

Answer 1

Esto era demasiado largo para poner un comentario, me disculpo si esto no le ayuda.

No sé cómo totalmente exacto, pero me gusta pensar (corto) exacto secuencias como algebraified versiones de los haces de fibras. Por lo tanto, poner de $X$ en una breve secuencia exacta $0\a Y\X\Z\to0$ me indica que $X$ es poner juntos de alguna manera, desde $Y$ y $Z$, y de tal manera que, en un mundo perfecto donde todo es bonito, es el producto de $Y$ y $Z$. Por lo tanto, de $X$ es una especie de "twisted producto" de $Y$ y $Z$.

Por lo tanto, en cualquier momento, somos capaces de poner $X$ en una exacta sequene debemos (en espíritu) ser capaz de decirle a las propiedades de $X$ de propiedades de $Y$ y $Z$.

Por ejemplo, sabiendo que $B$ es un abelian grupos que

$$0\a\B\C\to 0$$

es un SES $B,$ C también abelian grupos me dice que $\text{rango}(B)=\text{rango}(A)+\text{rango}(C)$ (o, más generalmente, esto funciona muy bien para los módulos a través de los PIDs).

La razón por la que SESs son un marco conveniente para lidiar con la noción de "poner togetheredness" es que vivimos en un fundamentalmente flecha obsesionado mundo. Cosas formulada exclusivamente en términos de flechas que nos hace felices, porque a menudo son fáciles de tratar.

Answer 2

Uno algebraicas respuesta es exacto que las secuencias son una abstracción de la noción de generadores y relaciones. Es decir, que $R$ ser un anillo y de $M$ a la izquierda $R$-módulo con la generación de los $S$. Luego hay un canónica surjection $$R^S \xrightarrow{f} M \0.$$

El núcleo de este surjection describe todas las posibles relaciones en $S$ y da lugar a una breve secuencia exacta $$0 \a \text{ker}(f) \R^S \xrightarrow{f} M \0.$$

Si $R$ es un PID, entonces $\text{ker}(f)$ es libre, por lo que escoger una base de $\text{ker}(f)$ da una irredundante conjunto de relaciones entre los generadores. Sin embargo, si $\text{ker}(f)$ no es gratis, a continuación, recoger una definición de conjunto de las relaciones $T$ (que es, un set de generación de energía en $\text{ker}(f)$) cambio da lugar a una secuencia exacta $$0 \a \text{ker}(g) \R^T \xrightarrow{g} R^S \xrightarrow{f} M \0.$$

Si $\text{ker}(g)$ no es libre, entonces... y así sucesivamente. Desde esta perspectiva estamos pensando exacta secuencias como las resoluciones.