solución débil de biharmonic ecuación

Question

Considere la posibilidad de $U$ un abrir y limitado subconjunto de $R^n$, con suave límite. Una débil solución para el problema :

$$ \Delta^2 u = f \ \in \Omega \ and \ u=\frac{\partial u}{\partial\nu} = 0 \text{ in } \partial U$$

donde $f \in L^{2}(U)$ es una función(digamos u )con $u \in H^{2}_{0}(U)$ con

$$ \int_{U} \Delta u \Delta v dx = \int_{U}fv dx, \forall \ v \ \in H^{2}_{0}(U)$$.

Creo que esta definición de la solución débil se obtiene tomando una función suave $u$ satisfing pointwise las dos condiciones del problema y antes de integrar por partes la primera ecuación y usando la segunda condición de que el problema puedo obtener la integral de la identidad de la solución débil de las funciones de prueba. Estoy en lo cierto ? Estoy tratando de hacer este cálculo, pero estoy llegando a ningún lado...

Alguien me puede ayudar ?

Gracias de antemano

Answer 1

Primero, considere las siguientes identidades (es un buen ejercicio para probar y comprobar que: vienen de Verde identitie)

$$\int_\Omega u\Delta v=-\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v+\int_{\partial\Omega}u\frac{\partial v}{\partial \nu},\ u,v\in H^2(\Omega)$$

$$\int_\Omega v\Delta^2 u=-\int_\Omega\nabla(\Delta u)\cdot\nabla v+\int_{\partial\Omega} v\frac{\partial\Delta u}{\partial\nu},\ \forall\ u\in H^4(\Omega),\ v\in H^1(\Omega)$$

Ahora, supongamos que el $u\in H^4(\Omega)$ satisface pointwise la ecuación. Multiplicar la ecuación por $v\in H^2_0(\Omega)$ e integrar. Se puede concluir a partir de aquí?

Nota: Si $u\in H_0^2(\Omega)$ es una solución débil de yoru problema, entonces, puede ser mostraron que $u\in H^4(\Omega)$, lo que implica por du Bois-Raymond teorema que $u$ satisface su ecuación pointwise. Para una mejor comprensión sobre el tema, echa un vistazo a este libro. Este libro fueron disponible en internet de forma gratuita aquí, la tuerca, el enlace no parece funcionar ahora. Inténtelo más tarde.