Generación de variables aleatorias independientes de variables aleatorias correlacionadas

Question

Tengo 2 normal estándar, correlación bivariante variables aleatorias, $corr \ (X_1, X_2)=\rho$.

Quiero generar dos independientes aleatoria normal estándar de las variables de estos 2.

Traté de usar lo que he aprendido de mi anterior hilo: ¿Cómo funciona la fórmula para la generación de variables aleatorias correlacionadas trabajo?

Tengo las siguientes:

$0=cov(\alpha X_1+\beta X_2, X_1)=\alpha\cdot cov(X_1X_2)+\beta\cdot\rho=\alpha+\beta\rho$

y

$\alpha^2+\beta^2=1$

Pero entonces yo no puedo continuar. Alguien me puede ayudar con eso?

Answer 1

Usted dice que es necesario resolver $$0=\alpha+\beta\rho\ (1)$$ $$\alpha^2 + \beta^2=1\ (2)$$

Sin embargo, creo que (2) es incorrecta. Usted desea conseguir dos independientes estándar normal de variables aleatorias, que se $X_1$ y $Y=\alpha X_1 + \beta X_2$. $X_1$ está hecho para seguir normal estándar. ¿$Y$? $Y$ sigue la distribución normal, la media de $Y$ aparentemente es 0 y la varianza de la $Y$ debe ser de 1, por lo que necesita $1=var(Y)=\alpha^2 var(X_1)+\beta^2 var(X_2)+2\alpha\beta cov(X_1,X_2)=\alpha^2 + \beta^2 + 2\alpha\beta\rho$, lo que significa que $$1=\alpha^2 + \beta^2 + 2\alpha\beta\rho \ (3)$$ en lugar de (2).

Por lo tanto, usted necesita resolver $$0=\alpha+\beta\rho\ (4)$$ $$\alpha^2 + \beta^2 + 2\alpha\beta\rho = 1\ (5)$$

A partir de (4), se obtiene una $$\alpha=-\beta\rho\ (6)$$ después de cuadrar ha $$\alpha^2=\beta^2\rho^2\ (7)$$ Poner (6) y (7) en (5) $$\beta^2\rho^2+\beta^2-2\beta^2\rho^2=1\ (8)$$ $$\beta^2-\beta^2\rho^2=1\ (9)$$ Por lo tanto, $$\beta=\pm\sqrt\frac{1}{1-\rho^2}\ (10)$$ El uso de (6) y (10), consigue $$\alpha=\sqrt\frac{\rho^2}{1-\rho^2},\ \beta=-\sqrt\frac{1}{1-\rho^2}$$ o $$\alpha=-\sqrt\frac{\rho^2}{1-\rho^2},\ \beta=\sqrt\frac{1}{1-\rho^2}$$