$u$de sustitución de fracaso

Question

Estoy practicando para el examen GRE, y llegó a través de la siguiente pregunta: Si $$ f(x) = \int_x^0 \frac{\cos(xt)}{t}\, dt, $$ encontrar $f'(x)$. La respuesta dada es $\frac{1}{x}(1 - 2\cos(x^2))$, y veo cómo obtener la respuesta. Lo que me pregunto es por qué el siguiente $u$-sustitución da la respuesta equivocada (o tal vez estoy cometiendo un error en alguna parte):

Si establecemos $u = xt$, entonces la integral se transforma en $$ f(x) = \int_{x^2}^0 \frac{\cos(u)}{u}\, du, $$ lo que significa que $f'(x) = -(\cos(x^2)/x^2)(2x) = -\cos(x^2)/x$, lo que echa de menos el $1/x$ plazo que la clave de respuestas dice que deberíamos de tener.

No puedo ver donde estoy cometiendo un error en la $u$-sub; es válido en este caso? Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

En primer lugar, la integral de la $\int_x^0 \frac{\cos(xt)}{t}\,dt$ no existe.

En lugar de eso, supongamos $f(x)$ ser dado por la integral

$$f(x)=\int_x^0 \frac{\cos(xt)-1}{t}\,dt$$

Entonces, hemos de Leibniz de la Regla

$$\begin{align} f'(x)&=\frac{1-\cos(x^2)}{x}+\int_0^x \sin(xt)\,dt\\\\ &=2\left(\frac{1-\cos(x^2)}{x}\right) \end{align}$$