Que $M$ ser un múltiple liso y deje $E_1,E_2$ ser dos paquetes de vectores no orientable $M$.
¿Es orientable $E_1 \oplus E_2$?
Estoy seguro que hay una respuesta fácil, pero de alguna manera mi búsqueda no resultan con nada útil.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Como Qiaochu dice, la respuesta es no, en general. Sin embargo, no hay más que decir aquí.
Una orientación sobre un vector paquete es una sección global de los asociados orientación paquete. Así, un vector paquete es orientable si y sólo si sus asociados orientación paquete (que es una doble cubierta) es trivial.
Ahora, una observación: Vamos a $V$ $V'$ dos espacios vectoriales reales. A continuación, una orientación en $V\oplus V'$ es equivalente a un bijection $\mathrm{or}(V)\to\mathrm{or}(V')$ donde $\mathrm{or}(\cdot)$ denota el conjunto de orientaciones.
Como se desprende de la observación anterior, una orientación sobre el vector paquete de $E_1\oplus E_2$ es equivalente a un paquete-isomorfismo $\mathrm{or}(E_1)\to\mathrm{or}(E_2)$. En otras palabras, $E_1\oplus E_2$ es orientable si y sólo si la orientación de los haces de $E_1$ $E_2$ son isomorfos. Esto no suele ser el caso.
Por supuesto, la respuesta puede cambiar si la topología de $M$ es simple de alguna manera. Por ejemplo, si $M$ es el círculo, entonces tiene exactamente dos dobles diferentes cubre. Por lo tanto, cada dos no-orientable vector paquetes tienen la misma orientación paquete, y por lo tanto, su suma directa es orientable.
Edit: Como ejemplo, vamos a $M$ ser el doble perforado plano, $$M=\mathbb{C}\setminus\{0,1\}.$$ Set $$P_0:=\left.\left\{(x,y)\in\mathbb{C}\times M\right|x^2=y\right\},\quad P_1:=\{(x,y)\in\mathbb{C}\times M|x^2=y-1\}.$$ So $P_0$ and $P_1$ are two different non-trivial double covers of $M$. Cada uno de ellos tiene asociada una línea de paquete. Cada uno de estos paquetes es no orientable, y su suma directa.
