Raíces trigonométricas 'extrañas' de$x^5-4x^4+2x^3+5x^2-2x-1$ - ¿podría alguien explicar?

Question

Este quintic ecuación ha $5$ bienes raíces:

$$x^5-4x^4+2x^3+5x^2-2x-1=0 \tag{1}$$

Las raíces son, de izquierda a derecha:

$$x_1=\frac{\cos \frac{19}{22} \pi}{\cos \frac{1}{22} \pi}$$

$$x_2=\frac{\cos \frac{9}{22} \pi}{\cos \frac{19}{22} \pi}$$

$$x_3=\frac{\cos \frac{7}{22} \pi}{\cos \frac{5}{22} \pi}$$

$$x_4=\frac{\cos \frac{1}{22} \pi}{\cos \frac{7}{22} \pi}$$

$$x_5=\frac{\cos \frac{5}{22} \pi}{\cos \frac{9}{22} \pi}$$

Me he encontrado con estas raíces numéricamente, usando ISC. La ecuación fue encontrado en la Wikipedia en una forma diferente (por $x-4/5$), no soluciones.

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Me pueden derivar esta ecuación para cada una raíz de forma individual. Pero no veo la manera de hacer las cinco raíces 'ajuste' juntos.

Por qué ${1,5,7,9,19}$? Por qué no hay $3/22, 13/22$ o $17/22$ en cualquiera de los argumentos?

En cualquier caso, yo estaría muy agradecido por la explicación de por qué estas raíces.

Answer 1

El uso de la igualdad de $\cos(\pi \pm x)=-\cos(x)$ consigue

$$x_1=-\frac{\cos \frac{3 }{22} \pi}{\cos \frac{1}{22} \pi} \\ x_2=-\frac{\cos \frac{9}{22} \pi}{\cos \frac{3}{22} \pi} \\ x_3=-\frac{\cos \frac{15}{22} \pi}{\cos \frac{5}{22} \pi} \\ x_4=-\frac{\cos \frac{21}{22} \pi}{\cos \frac{7}{22} \pi} \\ x_5=-\frac{\cos \frac{27}{22} \pi}{\cos \frac{9}{22} \pi} $$

Tenga en cuenta que la identidad $$\cos(3x)= \cos(x) [2 \cos(2x)-1]$$ le da una mejor forma para las raíces. Con este formulario, después de la sustitución adecuada, usted debe ser capaz de reducir su polinomio para el polinomio mínimo de a $\cos(\frac{\pi}{11})$, que se explica de donde las raíces están por venir.

Answer 2

Solo tenemos que encontrar el polinomio mínimo de$$ \alpha = \frac{\cos\frac{19\pi}{22}}{\cos\frac{\pi}{22}}=-\frac{\cos\frac{3\pi}{22}}{\cos\frac{\pi}{22}}=3-4\cos^2\frac{\pi}{22}=1-2\cos\frac{\pi}{11} \tag{1}$ $ y luego encontrar las raíces conjugadas. Pero es bien sabido que el polinomio mínimo de$\cos\frac{2\pi}{m}$ tiene grado$\frac{\varphi(m)}{2}$ (es decir,$5$ en nuestro caso) y los conjugados algebraicos de$\cos\frac{2\pi}{m}$ son$\cos\frac{2\pi k}{m}$ con$\gcd(k,m)=1$, por lo que el reclamo es sencillo.