Hay una integral definida que la suma de Riemann se puede calcular, pero para el que no hay forma cerrada antiderivada?

Question

Algunas integrales definidas, tales como $\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx$, son conocidos a pesar de que no hay forma cerrada de antiderivada. Sin embargo, el método que yo sé de cálculo de este particular integral (cuadrado, y de integrar sobre el primer cuadrante en coordenadas polares) no depende de la suma de Riemann de la definición. Lo que pensé que podría ser interesante es una integral definida, $\int_a^bf(x)\,dx$ para las que el límite de las sumas de Riemann pasa a ser calculable, pero para el que no forma cerrada antiderivada de $f$ existe. Por supuesto, hay algunos obvios interesantes ejemplos, como la integración de funciones impares más simétrica intervalos, pero uno no necesita sumas de Riemann para calcular estos interesantes ejemplos.

Edit: Para hacer esto un poco más claro, sería bueno tener un "natural" función continua $f(x)$ donde por algún milagro $\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^nf(x_i)\Delta x$ es computable (para algunos intervalo de $[a,b]$) utilizando la serie de engaño, pero para los que no antiderivada existe compuesto de funciones elementales.

Answer 1

Esto puede no responder a su pregunta, pero he leído de otro ejemplo de una integral, que puede ser calculado sin encontrar un anti-derivada en Halmos de Problemas Matemáticos, Jóvenes y Viejos es la integral: $$ \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{1}{1-xy} dx dy.$$ El truco aquí es mirar en el integrando en cada una de las $x,y$ $\frac{1}{1-r}$ donde $0<r=xy<1$ y sigue a tu corazón.

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Editar:

En el segundo pensamiento, esta respuesta es probablemente no es el punto, ya que la solución va a requerir un teorema de convergencia (convergencia monótona obras), y luego tenemos un anti-derivado-de menos de cálculo de las integrales de la forma $\int_{0}^{1} x^k dx$. Hay tal (que se encuentra aquí, por ejemplo). En cualquier caso, el método para encontrar esta integral invita a las generalizaciones$$\int_{0}^{1} \cdots \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{1}{1- x_1 x_2 \cdots x_n} dx_1 dx_2 \cdots dx_n$$ donde $n>1$.

Answer 2

Dirichlet función definida en $\displaystyle [0,1]$:

$\displaystyle D(x) = 0$ es x es irracional.

$\displaystyle D(x) = \frac{1}{q}$ si $\displaystyle x = \frac{p}{q}$ racional en forma reducida, $\displaystyle q \gt 0$.

$\displaystyle F(x) = \int_{0}^{x} \ D(t) \text{d}t = 0 \ \forall \ x \in [0,1]$

Tenga en cuenta que no hay ninguna función $\displaystyle f$ tal que $\displaystyle f'(x) = D(x)$, debido a que los derivados tienen el valor intermedio de la propiedad (ver aquí por ejemplo: http://www.math.wvu.edu/~kcies/enseñar/Fall03Spr04/451NadlerText/451Nadler101-120.pdf) y $\displaystyle D(x)$ sólo toma racional de los valores.

Realmente no estoy seguro si esto es lo que usted está buscando, aunque.

Si se puede probar que una integral es algo de valor, que han demostrado que el límite de Sumas de Riemann es el mismo valor.

De todos modos, espero que ayude.