Cómo resolver $\frac{|x+2|}{x-1}>\frac{x+1}{2x+1}$ ?

Question

Estoy trabajando en el siguiente problema: $$\frac{|x+2|}{x-1}>\frac{x+1}{2x+1}$$

Esto es lo que he hecho hasta ahora:
$$|x+2|>\frac{x+1}{2x+1}\times(x-1)$$

$$-\left(\frac{(x+1)(x-1)}{(2x+1)}\right)<x+2<\frac{(x+1)(x-1)}{(2x+1)}$$

Aquí es donde me detuve. No sé muy bien cómo resolver este tipo de desigualdades. ¿Estoy utilizando el método correcto?

Answer 1

Pista: Debes hacer un trabajo de casos: Caso 1: $$x>1$$ entonces obtenemos $$2x+1>0$$ y $|x+2|=x+2$ y tenemos

$$(x+2)(2x+1)>x^2-1$$ así que $2x^2+5x+2>x^2-1$ . ¿Puede proceder? Para su Control:

El resultado viene dado por

$\frac{-5}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{3}<x<-\frac{1}{2}$ ou $x>1$

Answer 2

Su último paso es incorrecto ya que no sabemos nada sobre el signo de $x+1$ y también si $|a|>b$ entonces $a<-b, a>b$ , no $-b<a<b$ .

Lo que hay que hacer es considerar cada caso entre los puntos $x=-1, -\frac12,1$ ya que determinan si se debe dar la vuelta a la desigualdad y si se puede eliminar el valor absoluto.

Answer 3

Debemos considerar 2 casos

1. para $x+2\ge 0 \implies x\ge -2$ tenemos que resolver

$$\frac{x+2}{x-1}>\frac{x+1}{2x+1}$$

2. para $x+2< 0 \implies x< -2$ tenemos que resolver

$$\frac{-x-2}{x-1}>\frac{x+1}{2x+1}$$

entonces la solución final viene dada por la unión de la solución obtenida para cada caso.

Para caso 1 podemos proceder como sigue

$$\frac{x+2}{x-1}>\frac{x+1}{2x+1}\iff \frac{x+2}{x-1}-\frac{x+1}{2x+1}>0\iff \frac{(x+2)(2x+1)-(x+1)(x-1)}{(x-1)(2x+1)}>0$$

$$\iff \frac{x^2+5x+3}{(x-1)(2x+1)}>0\iff \frac{\left(x-\frac{5+\sqrt 13}{2}\right)\left(x-\frac{5-\sqrt 13}{2}\right)}{(x-1)(2x+1)}>0$$

entonces podemos encontrar fácilmente las soluciones bajo la condición $x\ge -2$ .

De forma similar podemos estudiar el caso 2.