Pregunta relacionada con el teorema de la categoría Baire

Question

Me encontré con esta pregunta de un cuaderno de la facultad en el que tuve problemas con los espacios métricos, diciendo:

Dejemos que $ (X,d) $ sea un espacio métrico completo con la secuencia de conjuntos cerrados, $ \{F_n\}_{n \in N} $ Satisfaciendo a $ X = \bigcup_{n \in N} F_n $ . Debemos demostrar que $ X = \overline {\bigcup_{n \in N} {\operatorname{int}(F_n)}} $ .

Me imaginé que el teorema de la categoría de Baire probablemente tenga algo que ver aquí, pero al aplicarlo simplemente se obtiene que uno de los conjuntos tiene un interior no vacío. ¿Hay alguna forma de continuar con esto? Gracias a todos

Answer 1

Dejemos que $U=X\setminus \overline{\bigcup int(F_n)}$ y aplicar el teorema de la categoría de Baire en el espacio $\overline{U}$ .

Una explicación de Alex Ravsky. Si el conjunto $U$ no está vacío, entonces $\overline{U}$ es un subconjunto cerrado no vacío de un espacio métrico completo, por lo que es un espacio métrico completo con respecto a la métrica inducida. Dado que $\overline{U} = \bigcup_{n \in N} F_n\cap \overline{U}$ por el teorema de la categoría Baire existe $n$ tal que un conjunto $F_n\cap \overline{U}$ tiene un interior no vacío en $\overline{U}$ . Por lo tanto, existe un subconjunto abierto $V$ de $X$ tal que $\varnothing\ne V\cap \overline{U}\subset F_n\cap\overline{U}$ . Desde $\varnothing\ne V\cap \overline{U}$ y el conjunto $V$ está abierto, $\varnothing\ne V\cap U$ . Entonces un conjunto abierto no vacío $V\cap U$ está contenida en $F_n$ Así que $V\cap U\subset\operatorname{int} F_n$ pero $U\cap \operatorname{int} F_n=\varnothing$ una contradicción.