Una coincidencia numérica con las fracciones continuas

Question

Mi hermano construyó un garaje que mide 45 pies por 30 pies. Para asegurarse de que los ángulos rectos eran exactos, midió las dos diagonales del rectángulo para comprobar que eran iguales. En pulgadas, \begin{align} & \sqrt{540^2+360^2} \approx 648.999229548\text{ inches} \\[6pt] = {} & 54\text{ feet}+1\text{ inch} - \text{less than $0.001$ inches}. \end{align} Es un poco impar llegar a una milésima de pulgada cuando se redondea a la pulgada más cercana, pero hay más: $$ \sqrt{540^2+360^2} = 649 - \cfrac{1}{1298+\cfrac{1}{24073+\cdots}}. $$ ¿Una parte entre veinticuatro mil?

¿Estuve allí por casualidad cuando alguien hizo rodar vagones dos docenas de veces seguidas, o hay algo más que decir?

(Tal vez debería añadir que $540^2+360^2 = 649^2-1$ .)

PS: $$ \sqrt{540^2+360^2} = 648 + \cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1297+\cfrac{1}{25700+\cdots}}} \\ \text{(This part is mistaken; see below.)} $$

Edición posterior: Una calculadora me dio los resultados anteriores repetidamente; más tarde, otra calculadora no estuvo de acuerdo, con la misma insistencia, y descubrí cuál es la verdad.

Answer 1

Desde $540^2+360^2+1^2=649^2$ tenemos $\sqrt{540^2+360^2} = \sqrt{649^2-1}$ y observe que como $2\cdot649=1298$ , obtenemos que $$-649+\sqrt{649^2-1}=\frac{-1298+\sqrt{1298^2-4}}{2}\tag{1}$$ es una solución a $$ x^2+1298x+1=0. $$ Reordena la ecuación cuadrática: $$ x = \frac{-1}{1298+x} $$ y luego sustituyendo la expresión de la derecha por $x$ dentro de esa misma expresión nos da $$ x=\cfrac{-1}{1298-\cfrac{1}{1298-\cfrac{1}{1298-\cfrac{1}{1298-\cdots\cdots\cdots}}}} $$ y de $(1)$ tenemos $$ \sqrt{649^2-1} = 649+x. $$ Esa es UNA FORMA DE VERLO, y a un nivel lo explica y a otro no. Pero demuestra que esta expansión es correcta.

Answer 2

De manera más general, considere $\sqrt{n^2 - 1}$ . La raíz cuadrada de $(n^2 - 1)$ debe ser sólo ligeramente menos que la raíz cuadrada de $n^2$ (que es $n$ ), por lo que dejar $x = n - \sqrt{n^2 - 1}$ tenemos $(n-x)^2 = n^2 - 1$ y por lo tanto $2nx - x^2 = 1$ o la distancia de la raíz cuadrada al número entero $n$ es $$x = \dfrac{1}{2n - x} = \cfrac{1}{2n - \cfrac{1}{2n - x}} = \cfrac{1}{2n - \cfrac{1}{2n - \cfrac{1}{2n - \cfrac{1}{\dots}}}} $$

De todos modos no tenemos que ir tan lejos; sólo el hecho de que $x = \frac{1}{2n + x} \le \frac{1}{2n-1}$ basta con demostrar que $x$ debe ser realmente pequeño. No es de extrañar que, al redondear a la pulgada más cercana, la distancia se reduzca a una milésima de pulgada.

De forma similar a las fracciones continuas, también podemos utilizar el teorema del binomio: $$\begin{align} \sqrt{n^2 - 1} &= n\sqrt{1 - 1/n^2} = n(1 - 1/n^2)^{1/2} \\ &= n\left(1 - \frac{1}{2n^2} - \frac{1}{8n^4} - \frac{1}{16n^6} - \frac{5}{128n^8} - \dots \right) \end{align}$$ y así $$x = n - \sqrt{n^2 - 1} = \frac{1}{2n} + \frac{1}{8n^3} + O\left(\frac{1}{n^6}\right)$$ para ver que $x$ , el desplazamiento de un número entero, es en sí mismo muy cerca de $\frac{1}{2n}$ que probablemente esté relacionado con lo que la primera calculadora (incorrectamente) dio en el primer caso.