Encontrar el límite de la suma geométrica modificada $\sum_{k=1}^{\infty} k^3 q^k,$ donde $\left| q\right| < 1$

Question

He estado tratando de encontrar el límite de la serie infinita

$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} k^3 q^k, \quad \left| q\right| < 1$

Ya he determinado que converge utilizando la prueba de la relación, pero estoy en una pérdida cuando se trata de determinar realmente el límite.

Sé cómo calcular el límite de

$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} k q^k, \quad \left| q\right| < 1$

Esto es sencillo por derivación con respecto a q aplicada a

$1 + q + q^2 + \ldots q^n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$

y luego multiplicar con $q$ y tomar el límite. Pero esto se complica demasiado cuando se hace tres veces. ¿Hay alguna forma mejor?

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ \sum_{k=0}^\infty k^nq^k = q\sum_{k=0}^\infty k^{n-1} \cdot kq^{k-1} = q\Big(\sum_{k=0}^\infty k^{n-1} q^k\Big)' $$ Así que puedes usar la recursión para calcularlo. \begin{align} \sum_{k=0}^\infty q^k &= \frac{1}{1-q} \\ \sum_{k=0}^\infty kq^k &= q\Big(\sum_{k=0}^\infty q^k\Big)' = q\Big(\frac{1}{1-q}\Big)' = \frac{q}{(1-q)^2} \\ \sum_{k=0}^\infty k^2q^k &= q\Big(\sum_{k=0}^\infty kq^k\Big)' = q\Big(\frac{q}{(1-q)^2}\Big)' = \frac{q^2+q}{(1-q)^3} \\ \sum_{k=0}^\infty k^3q^k &= q\Big(\sum_{k=0}^\infty k^2q^k\Big)' = q\Big(\frac{q^2+q}{(1-q)^3}\Big)' = \frac{q^3 + 4q^2 +q}{(1-q)^4} \end{align}

Answer 2

Sugerencia :

$$k^3=k(k-1)(k-2)+3k(k-1)+k.$$ Por otro lado, \begin{align} \sum_{k=1}^{\infty} k q^k&= q\sum_{k=1}^{\infty} kq^{k-1}=q\biggl(\sum_{k=0}^{\infty} q^{k}\biggr)\vphantom{\Bigr)}^{\!'}\\ \sum_{k=1}^{\infty} k(k-1) q^k&= q^2\sum_{k=1}^{\infty} k(k-1)q^{k-2}=q^2\biggl(\sum_{k=0}^{\infty} q^{k}\biggr)\vphantom{\Bigr)}^{\!''}\\ \sum_{k=1}^{\infty} k(k-1)(k-2) q^k&=\dots\dots \end{align}

Answer 3

Hay problemas técnicos con el uso de la diferenciación; es un hecho altamente no trivial (comparado con la suma que quieres evaluar) que puedes diferenciar una serie de potencia (convergente) a término. Puedes buscar la expansión de Taylor (con el término del resto) y su prueba, pero por ahora observa que hay un solución elemental y sencilla :

$q · \sum_{k=0}^n k^3 q^k = \sum_{k=0}^n k^3 q^{k+1} = \sum_{k=1}^{n+1} (k-1)^3 q^k = \sum_{k=0}^{n+1} (k-1)^3 q^k$ .

Así, $\sum_{k=0}^n k^3 q^k - q · \sum_{k=0}^n k^3 q^k = \sum_{k=0}^n (k^3-(k-1)^3) q^k - n^3 q^{n+1}$ .

Así, $(1-q) · \sum_{k=0}^n k^3 q^k = \sum_{k=0}^n (3k^2-3k+1) q^k - n^3 q^{n+1}$ .

Como puedes ver, hemos reducido el grado de la parte polinómica de cada término de la serie. Te dejo que repitas el proceso, lo que te permitiría encontrar el forma cerrada para $\sum_{k=0}^n k^3 q^k$ a partir de la cual es fácil encontrar $\lim_{n} \sum_{k=0}^n k^3 q^k$ como se desee.