Torsión libre significa integral cohomology es de torsión libre. Cuando $n \leq 3$, dichos espacios son proyectivos espacio de $\mathbb{CP}^n$, $\mathbb{HP}^n$ y el de Cayley plano. $\operatorname{Sq}^{2^n}$ toma el generador de grado $2^n$ para el generador de grado $2^{n+1}$. Entonces, ¿qué es un espacio para $n > 3$? Es decir, podemos encontrar una torsión de espacio libre $X$ tal que el indecomposable elemento $\operatorname{Sq}^{2^n}$ actos no trivialmente en mod 2 cohomology de $X$?
Respuesta
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$\textrm{Sq}^{2^n}$ actos no trivialmente en el mod 2 cohomology de $\mathbb{C}P^{m}$ si $m \geq 2^{n}$: se toma el elemento distinto de cero en la dimensión $2^n$ para el elemento distinto de cero en la dimensión $2^{n+1}$. Esto es cierto porque para cualquier cohomology de la clase $x$ en la dimensión $d$, $\textrm{Sq}^d x = x^2$.
Si desea un espacio que tiene un valor distinto de cero cohomology sólo en las dimensiones de $2^n$ e $2^{n+1}$, conectados por $\textrm{Sq}^{2^n}$, esto es imposible para $n\geq 4$ por Adams' invariante de Hopf un teorema
