Si$f_n \to f$ en$L^p$ y$g_n \xrightarrow{a.e.} g$ en$L^\infty$ entonces$f_ng_n \to fg$ en$L^p$

Question

Ejercicio :

Deje $\Omega \subseteq \mathbb R^n$ ser abierto y acotado, $\{f_n\}_{n \geq 1} \subseteq L^p(\Omega)$ con $1<p< \infty$ e $\{g_n\}_{n \geq 1} \subseteq L^\infty(\Omega)$. Si es $f_n \to f$ en $L^p(\Omega)$ e $g_n \xrightarrow{a.e.} g$ en $L^\infty(\Omega)$ mientras $\{g_n\}_{n \geq 1}$ es también limitada, a continuación, mostrar $f_ng_n \to fg$ en $L^p(\Omega)$.

Intento :

Desde $\{g_n\}_{n \geq 1}$ es acotado, entonces sería $\|g_n\|_\infty \leq M$ para algunos $M>0$ y por lo tanto para el $p$-norma sería $\|g_n\|_p \leq M$ así. Ahora, es :

$$\begin{align*} \|fg - f_ng_n\|_p &= \|fg - fg_n + fg_n - f_ng_n\|_p \\ &\leq \|fg-fg_n\|_p + \|g_n(f-f_n)\|_p \\ &\leq \|fg-fg_n\|_p + M\|f-f_n\|_p \end{align*}$$

El segundo término va a $0$ como $f_n \to f$ en $L^p(\Omega)$.

Ahora, desde la $g_n \xrightarrow{a.e.} g$ también podemos deducir que $\|g_n\|_\infty \xrightarrow{a.e.} \|g\|_\infty$.

Para el primer término :

$$\begin{align*} \|fg-fg_n\|_p &= \left(\int_\Omega|fg-fg_n|^p\mathrm{d}x \right)^{1/p} \\ &\leq \left[ \int_\Omega \left(|fg| + |fg_n|\right)^p\mathrm{d}x\right]^{1/p} \\ &\leq \left[ \int_\Omega \left(|fg| + M|f|\right)^p\mathrm{d}x\right]^{1/p} \end{align*}$$

No veo la manera de continuar, aunque para demostrar que este plazo puede ser arbitrariamente pequeño, así que $\|fg-f_ng_n\|_p \to 0$ y así la deseada convergencia.

Cualquier sugerencias o elaboraciones será muy apreciada !

Editar :

He trabajado alrededor de mí mismo como tal :

$$\begin{align*} \|f(g_n-g)\|_p &= \left(\int_\Omega |(g_n-g)f|^p\mathrm{d}x\right)^{1/p} \\ &\leq \left(\int_\Omega ||g_n-g\|_\infty^p|f|^p\mathrm{d}x\right)^p \\ &= \|g_n-g\|_\infty\left(\int_\Omega |f|^p\mathrm{d}x \right)^p \to 0 \end{align*}$$

Así que finalmente llegamos $\|fg-f_ng_n\|_p \to 0 \Leftrightarrow f_ng_n \to fg$ στον $L^p(\Omega)$.

Answer 1

Usa el teorema de la convergencia dominada.

• $|f\,g-f\,g_n|^p$ converge a $0$ ae
• $|f\,g-f\,g_n|^p\le2^pM^p|f|^p\in L^1$