¿Cuál es la diferenciación de la parte fraccionaria de $x$ ?
Dado que la pendiente de $\{x\}$ es $1$ para que la derivada de $\{x\}$ debe ser $1$ . ¿Es correcto o no?
Su función $\{x\}$ tiene derivación $1$ como usted señala, excepto $\{x\}$ tiene saltos (de $-1$ ) en cada número entero. En la teoría de distribuciones la derivada de un salto unitario en $0$ es una medida llamada $\delta$ . Así que $$ \frac{d}{dx}\{x\} = 1 - \sum_{n \in \mathbb Z} \delta(x-n) \tag{1}$$ (Este es un simple ejemplo de un Descomposición de Lebesgue de una medida firmada). ¿Qué significa? Por ejemplo, podemos escribir una integral de Stieltjes así $$ \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x)\;d\{x\} = \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x)\;dx - \sum_{n \in \mathbb Z} \varphi(n) \tag{2}$$ para funciones bastante agradables $\varphi$ . Por ejemplo, esto funciona cuando $\varphi$ es continua con soporte compacto.
No es posible diferenciar la parte fraccionaria de x cuando $x \in \mathbb{Z}$ . Esto se debe a que el gráfico de $\{x\}$ no es continua. Por tanto, su derivada no existe.
¿Por qué no existe su derivado? Si se observa la derivada de la derecha y la derivada de la izquierda de los valores de la integral de $x$ no son lo mismo. Para que una función sea diferenciada, la derivada de la izquierda y la de la derecha deben ser iguales. Por lo tanto, su derivada no existe en $x \in \mathbb{Z}$ .
Sin embargo, aparte de los valores integrales de $\{x\}$ las derivadas existen. La derivada para otros valores de $x$ es evidentemente 1. Para generalizar la derivada de ( $\frac{d}{dx}\{x\}, x \in \mathbb{R-Z} = 1$ ).
Se puede diferenciar esto sólo en los puntos $x\notin\mathrm Z,$ ya que exactamente en esos puntos $[x]$ es discontinuo y, por tanto, no diferenciable. Con esta salvedad, ya que se tiene $\{x\}=x-[x],$ entonces tenemos que $$\left(\{x\}\right)'=\left(x-[x]\right)'=1-0=1,$$ proporcionado $x\notin\mathrm Z.$
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¿entiendes cómo algunas funciones pueden ser no diferenciables?
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Siento decirlo pero no puedo entender
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Conoces los límites. Como los límites de la mano izquierda y los límites de la mano derecha. Así como que para que una función sea diferenciada, la derivada de la izquierda y la derivada de la derecha deben existir y ser iguales. Para saber más sobre esto busca y lee sobre el tema "Continuidad y Diferenciación"