De hecho, existen muchas presentaciones de la clásica lógica proposicional1.
Si la complejidad se mide exclusivamente en términos de número de axiomas, entonces sí, Mendelson, el axioma de sistema sería el más "económico". Podríamos ser incluso más "económico" con Meredith del sistema: $$((((A\to B)\to(\neg C\to\neg D))\to C)\to E)\to((E\to A)\to(D\to A))$$ Simplemente se desliza en la lengua. Mientras minimality es a menudo un conductor, la gente todavía necesita para descubrir más mínimo de los sistemas. (De hecho, la anterior no es la más minima sistema si se incluye la complejidad de la axiología y no sólo el número). También está la cuestión de la aceptación de los axiomas. Idealmente, queremos que los axiomas a ser "auto-evidente" o al menos fácil de entender intuitivamente. Tal vez sea sólo yo, pero Meredith, el axioma de no saltan a mí como algo que, obviamente, deben ser cierto, deje suficiente por sí solo para demostrar que todos los demás clásicos tautologías.
Minimality es, sin embargo, no es el "punto" de la axiomática de los sistemas. Usted menciona otra razón: a veces, usted realmente no quiere probar cosas en las que es mejor tener un rico y más intuitivo sistema axiomático. Se puede argumentar que se puedan derivar teoremas queremos uso de un mínimo de base, y luego olvidarse de esa base. Esto es cierto, pero la complejidad innecesaria si no tenemos otra razón para considerar a este mínimo. Cuando se comparan diferentes estilos de la prueba del sistema (por ejemplo, Hilbert v. Sequent Cálculo v. Deducción Natural), traducciones entre ellos (especialmente en Hilbert estilo de los sistemas) puede implicar una gran cantidad de la complejidad de la mecánica. Que la complejidad a veces puede reducirse significativamente mediante una cuidadosa elección de los axiomas.
Para las Leyes del Medio Excluido (LEM) y de No-contradicción, la primera cosa que tendríamos que hacer es definir las conectivas. No se puede probar $\neg(P\land\neg P)$ , en un sistema que no tiene $\land$. Dado $\neg$ e $\to$ como primitivas, definiciones estándar de $\land$ e $\lor$ se $P\land Q:\equiv \neg(P\to\neg Q)$ e $P\lor Q:\equiv\neg P\to Q$. Con estas definiciones (o de otros), entonces sí, el LEM y la No contradicción de las dos puede ser comprobado en los sistemas que mencionas y cualquier otro medio de prueba del sistema para el clásico de la lógica proposicional. Su preocupación aquí es una ilustración en la que a menudo nos la atención acerca de que los axiomas tenemos y no sólo porque son cortos y efectivos.
Esto también nos lleva a otra razón de por qué podríamos querer un cierto presentación. Queremos que la presentación de la línea con otros, relacionados con la lógica. Como estás empezando a darse cuenta, de que está mal definida para decir algo como "intuitionistic lógica proposicional (IPL) es la clásica lógica proposicional (CPL), menos de la LEM". Cuando la gente dice cosas como esta, que están siendo descuidados. Sin embargo, "CPL es IPL más LEM" es ambigua. Cualquier presentación de la ILP a la que añadimos LEM es una presentación de la CPL. Para esa presentación, tiene sentido hablar acerca de la eliminación de LEM. No tiene sentido hablar de la eliminación de un axioma sin una presentación de los axiomas que contiene ese axioma. También es muy posible tener una presentación de CPL que contiene LEM que se vuelve mucho más débil que el IPL cuando LEM es eliminado. De hecho, puedes esperar esto porque una presentación de la ILP con LEM añadido es probable que sea redundante, porque las cosas que son intuitionistically distintas son identificables cuando LEM es añadido. La historia es la misma para paraconsistent lógicas.
Si bien no es como mucho de un controlador de Hilbert de estilo a prueba de los sistemas de deducción natural y sequent cálculos de las preocupaciones de estructural a prueba la teoría de que a menudo se presionan para más axiomas (o reglas de inferencia, más bien). Por ejemplo, muchos de los axiomas en una de Hilbert de estilo a prueba de sistema de mezclar las conectivas, como por ejemplo la de Meredith hace. Esto significa que no podemos entender conectivo, en sus propios términos, pero sólo por la forma en que interactúa con otras conectivas. Una fuerza impulsora en la estructural típico de las presentaciones es la caracterización de las conectivas por reglas que no hacer referencia a cualquiera de las otras conectivas. Esta mejor revela la "verdadera" naturaleza de las conectivas, y hace que el sistema sea más modular. Se convierte en algo significativo para hablar acerca de cómo agregar o quitar un solo conectivo, que le permite construir una lógica a la carta. De hecho, la estructura de la prueba la teoría de que motiva a muchas limitaciones en lo que es una prueba del sistema que debe parecer como la lógica de la armonía.
1 Y que el enlace sólo se considera Hilbert estilo de los sistemas de prueba.
