Transformación de Lorentz

Question

No entiendo cómo derivar la matriz que representa la Lorentz-la transformación dado dos sistemas S y S':

$$x' = \Lambda x$$

estas transformaciones no dejar las diferencias a$\Delta x^\mu$ sin cambios, pero a multiplicar también por la matriz $\Lambda$:

$$(\Delta s)^2 = (\Delta x)^T \eta (\Delta x) = (\Delta x')^T \eta (\Delta x') = (\Delta x)^T \Lambda^T \eta \Lambda (\Delta x) \tag{1.26}$$

y por lo tanto

$$\eta = \Lambda^T \eta \Lambda$$

No entiendo la matemática pasajes en eq. 1.26 en particular:

1. ¿por qué es necesario multiplicar por $\Lambda$?
2. El papel de la transposición de símbolo

Sé que el espacio-tiempo de intervalo está dado por

$$(\Delta s)^2 = \eta_{\mu \nu}\Delta x^\mu\Delta x^\nu$$

y entiendo que la métrica dada por $\eta$ debe ser el mismo en cada sistema de referencia.

Answer 1

Para responder a su pregunta:

1. Si miramos $\mathrm{(1.26)}$ cuidadosamente, verás que hemos $$(\Delta s)^2 = (\Delta x )^T \eta(\Delta x) = (\Delta x')^T \eta(\Delta x')$$ Esta es la equiparación de la línea de elemento en los dos diferentes sistemas de inercial. Observe que la expresión en el lado derecho es una función de $\Delta x'$ no $\Delta x$. El uso de $\Delta x' = \Lambda \Delta x$ e $(\Delta x')^T = (\Delta x)^T \Lambda^T$ se puede ver en el tanto $\Lambda$ e $\Lambda^T$ viene.

2. La transposición símbolo es debido a que la línea del elemento debe ser un escalar, por lo que la "matriz" que representa tanto $\Delta x$ términos debe tener inversa dimensiones de la "matriz" que representa la métrica. Yo, personalmente, no me gusta este formalismo, y si usted ve a hacer la relatividad general, que será presentado a los tensores y el convenio de sumación de Einstein. En este formalismo es una forma mucho más clara, porque la línea es el elemento dado como $$ds^2=g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu$$ donde $g_{\mu \nu}$ es la métrica. En esta notación se puede ver claramente que la línea es un elemento escalar y que la métrica es un (0,2) tensor de lo $dx^\mu dx^\nu$, si se trata como un solo objeto como es en su pregunta, debe ser un rango (2, 0) tensor.

Debo admitir que yo personalmente no me gusta la forma dada en $\mathrm{(1.26)}$ ya que siento que es confuso en cuanto a lo $\Delta x$ es y por qué, como usted pidió, queremos aprovechar la transpuesta. Así que voy a escribir la misma derivación en la notación utilizada en la relatividad general, espero que usted puede encontrar esto más claro.

Tenemos la línea de elemento en los dos cuadros como $$ds^2 = \eta_{\mu \nu}dx^\mu dx^\nu = \eta'_{\mu' \nu'} dx^{\mu'} dx^{\nu'}$$ cuando estamos trabajando en el espacio de Minkowski (relatividad especial) lo $\eta = \eta'$. El $\mu'$ e $\nu'$ son para denotar que estos son los nuevos índices en el nuevo marco. Estos son dados por la transformación de Lorentz $$dx^{\mu'} = \Lambda^{\mu'}{}_\mu dx^\mu.$$ Notice that here the transmormation "matrix" is actually a (1,1) tensor. Einstein summation convention tells us we sum over the repeated $\mu$ so what the only free index on the right-hand side is $\mu'$, al igual que en el lado izquierdo. Sustituyendo esto en la anterior, da $$\eta_{\mu \nu}dx^\mu dx^\nu = \eta'_{\mu' \nu'} \Lambda^{\mu'}{}_\mu \Lambda^{\nu '}{}_\nu dx^\mu dx^\nu$$ Así, $$\eta_{\mu \nu} = \Lambda^{\mu'}{}_\mu \Lambda^{\nu'}{}_{\nu} \eta'_{\mu' \nu'}$$ Que es el mismo que $$\eta'=\Lambda^T\eta\Lambda.$$

Answer 2

El papel de la transposición de símbolo

Los vectores son generalmente representado por la columna de la matriz. $$\Delta x= \begin{bmatrix}c\Delta t \\ \Delta x \\\Delta y\\ \Delta z \end{bmatrix} .$$ Thus $$\Delta x^T= \begin{bmatrix}c\Delta t & \Delta x &\Delta y& \Delta z \end{bmatrix} .$$ The invariant interval in matrix representation is given by $$\Delta s^2=\Delta x^T\eta\Delta x=\begin{bmatrix}c\Delta t & \Delta x &\Delta y& \Delta z \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1& 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0& 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}c\Delta t \\ \Delta x \\\Delta y\\ \Delta z \end{bmatrix}$$ $$=(c\Delta t)^2 - \Delta x^2 -\Delta y^2 - \Delta z^2$$

¿Por qué es necesario multiplicar por Λ?

Debido a que la transformación de Lorentz ecuación está dada por $$\Delta x' = \Lambda \Delta x$$ sustituyendo esto en el intervalo de $(\Delta s)^2 = (\Delta x')^T \eta (\Delta x')$ tenemos $$ (\Delta s)^2= (\Lambda\Delta x)^T \eta (\Lambda\Delta x)=\Delta x^T\Lambda^T\eta \Lambda\Delta x$$
Este es el mismo como $(\Delta x)^T \eta (\Delta x)$ . Analizar con la ecuación anterior, obtenemos $\eta = \Lambda^T \eta \Lambda$