Hallar una función inversa (suma de potencias no enteras)

Question

Tengo una función:

$$f(x)=x^{2.2} + (1-x)^{2.2}$$

Se define en el intervalo $[0,1]$ . Mínimo: $x=0.5, y=2*0.5^{2.2} = 2^{-1.2}$ .

Quiero encontrar su inversa. Como la función tiene dos "alas", la inversa será una familia de dos funciones.

Después de algunos retoques, he creado algo que parece una muy buena aproximación a una función inversa:

$$g(x)=\frac{1}{2} \left( 1 \pm \left(\frac{x-2^{-1.2}}{1-2^{-1.2}}\right)^{0.504288} \right)$$

El número $0.504288 \approx 1 / 1.9829939$ se halló experimentalmente sustituyendo $g(x)$ en $f(x)$ y retocarlo para que parezca lo más recto posible:

$$p(x) = f(g(x)) \approx x$$

Ilustración: https://www.geogebra.org/graphing/zgzafsk4 (Puede ser un poco lento. Sustituto de la imagen por si acaso).

Y ahora me molesta estar a un paso de la solución exacta.

Así que la pregunta es: ¿es posible expresar la potencia exacta en $g(x)$ para obtener la igualdad $p(x) = x$ y cuál será ese valor?

Actualización:

De acuerdo, la gente parece centrarse en utilizar las herramientas numéricas habituales para obtener una aproximación arbitraria. Pero la pregunta no se refería a eso. Tengo una aproximación que es suficientemente buena para mis propósitos.

La pregunta se refiere a este caso especial. Hay una función de potencia añadida a la copia invertida y desplazada de sí misma.

Función inversa de una función potencia $y = x^{2.2}$ será sólo la potencia invertida $x = y^{1/2.2}$ . Como añadimos una función creciente y otra decreciente, la curvatura resultante ha cambiado. Y hace sospechar que incluso podría haber un valor exacto de la potencia, menor que el original de 2,2...

Después de escribir esto, me di cuenta de que el problema puede expresarse de otra manera. Lo que hice en realidad es que hice una función inversa para una aproximación de $f(x)$ :

$$f_{approx}(x) = 2^{-1.2}+ (1-2^{-1.2}) (2x-1)^{1.983}$$

Ahora hice una ilustración diferente: https://www.geogebra.org/graphing/msfzaqah ( imagen ).

También hay $h(x) = \frac{f_{approx}(x)}{f(x)}$ en la ilustración. Claramente tiene algunos extremos, y cambiar la potencia sólo los desplaza. Así que la respuesta a la pregunta original debe ser: esta aproximación no se ajusta exactamente a la función, así que no hay un número exacto que poner ahí.

Ahora la pregunta es: ¿se puede expresar la función original como algo invertible? Las funciones de la misma forma con una potencia entera son invertibles. ¿Qué impide que una función con potencia no entera (fraccionaria) también sea invertible?

Nota:

Para las potencias 2 y 3, se pueden expresar funciones similares en una forma claramente invertible:

$$x^2+(1-x)^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}(2x - 1)^2$$

$$x^3+(1-x)^3 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4}(2x - 1)^2$$

Para las potencias de 4 y superiores WolframAlpha no proporciona una forma como ésta (potencia única), pero sigue siendo capaz de construir funciones inversas, aunque cada vez más complicadas.

Es interesante que para potencias de 2 y 3 la función resultante tiene la potencia de 2. Y este hecho parece persistir para potencias mayores - una suma de (2n+1) funciones de potencia será una (2n) función de potencia. Pero esto es una digresión.

Actualización 2:

Agradezco mucho las respuestas sobre la ampliación de la serie Tailor. Pero sigo preocupado: ¿es lo mejor que podemos hacer?

Answer 1

Utilizando números enteros, se desea aproximar $x$ tal que, para un valor dado de $y$ se cumpla la ecuación $$y=x^{11/5}+(1-x)^{11/5}\tag 1$$ Ya te has dado cuenta de la simetría.

Una cosa que podría hacer es ampliar $y$ como una serie de Taylor en torno a $x=\frac 12$ y esto daría $$y=\frac{1}{2 \sqrt[5]{2}}+\frac{33}{25} 2^{4/5} \left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{44}{625} 2^{4/5} \left(x-\frac{1}{2}\right)^4-\frac{3696\ 2^{4/5} \left(x-\frac{1}{2}\right)^6}{78125}+O\left(\left(x-\frac{1}{2}\right)^7\right)$$ Ahora, utilizando reversión de series , $$x=\frac{1}{2}+\frac{5 \sqrt{y-\frac{1}{2 \sqrt[5]{2}}}}{2^{2/5} \sqrt{33}}+\frac{5 \left(y-\frac{1}{2 \sqrt[5]{2}}\right)^{3/2}}{99 \sqrt[5]{2} \sqrt{33}}+\frac{287 \left(y-\frac{1}{2 \sqrt[5]{2}}\right)^{5/2}}{19602 \sqrt{33}}+O\left(\left(y-\frac{1}{2 \sqrt[5]{2}}\right)^3\right)\tag 2$$ Para que quede más bonito, utiliza en su lugar $$x=\frac{1}{2}+t+\frac{2 }{75}t^3+\frac{574}{28125} t^5+O\left(t^7\right)\qquad \text{with} \qquad t=\frac{5 \sqrt{y-\frac{1}{2 \sqrt[5]{2}}}}{2^{2/5} \sqrt{33}}$$

Para comprobar cómo funciona, demos un valor a $x$ utilizando $(1)$ calcula el $y$ y utilizar $(2)$ para volver a calcular $x$ . Esto daría los siguientes resultados $$\left( \begin{array}{ccc} x_{given} & y_{calc} & x_{calc} \\ 0.50 & 0.435275 & 0.500000 \\ 0.55 & 0.441020 & 0.550000 \\ 0.60 & 0.458245 & 0.600000 \\ 0.65 & 0.486923 & 0.650000 \\ 0.70 & 0.527004 & 0.700000 \\ 0.75 & 0.578415 & 0.749998 \\ 0.80 & 0.641057 & 0.799993 \\ 0.85 & 0.714789 & 0.849977 \\ 0.90 & 0.799420 & 0.899936 \\ 0.95 & 0.894662 & 0.949833 \\ 1.00 & 1.000000 & 0.999559 \end{array} \right)$$ Esto era para la parte derecha de la curva. Para su parte izquierda, basta con hacer $x\to 1-x$ y obtener $$\left( \begin{array}{ccc} x_{given} & y_{calc} & x_{calc} \\ 0.00 & 1.000000 & 0.000441 \\ 0.05 & 0.894662 & 0.050167 \\ 0.10 & 0.799420 & 0.100064 \\ 0.15 & 0.714789 & 0.150023 \\ 0.20 & 0.641057 & 0.200007 \\ 0.25 & 0.578415 & 0.250002 \\ 0.30 & 0.527004 & 0.300000 \\ 0.35 & 0.486923 & 0.350000 \\ 0.40 & 0.458245 & 0.400000 \\ 0.45 & 0.441020 & 0.450000 \\ 0.50 & 0.435275 & 0.500000 \end{array} \right)$$ Sin duda, podríamos hacerlo más preciso utilizando más términos y, en términos de $t$ obtener $$x=\frac{1}{2}+t+\frac{2 }{75}t^3+\frac{574}{28125} t^5+\frac{3932 }{140625}t^7+\frac{7988638 }{158203125}t^9+\frac{1274313196 }{11865234375}t^{11}+O\left(t^{13}\right)$$

Editar

Generalizar el problema para $$y=x^{k}+(1-x)^{k}$$ y utilizando el mismo enfoque, deberíamos obtener $$x=\frac{1}{2}+t-\frac{(k-3) (k-2)}{6} t^3+\frac{(k-3) (k-2) (27 k^2-103k+50)}{360} t^5+O\left(t^7\right)$$ donde $t=\sqrt{\frac{2^{k-2} y-\frac{1}{2}}{k(k-1) }}$ .

Actualización

Para obtener algo parecido a lo que has hecho, para el caso más general, construyendo una expansión de Taylor alrededor de $x=\frac 1 2$ tenemos $$y=2^{1-k}+2^{2-k} (k-1) k \left(x-\frac{1}{2}\right)^2+O\left(\left(x-\frac{1}{2}\right)^4\right)$$ y resolviendo la cuadrática $$x=\frac 12 \left(1\pm \sqrt{\frac{2^k y-2}{(k-1) k} } \right)$$ que está muy cerca de lo que usted propuso.

Esto podría mejorarse utilizando un término más en la expansión $$y=2^{1-k}+2^{2-k} (k-1) k \left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{3} 2^{2-k} (k-3) (k-2) (k-1) k \left(x-\frac{1}{2}\right)^4+O\left(\left(x-\frac{1}{2}\right)^6\right)$$ que es una ecuación cuadrática en $\left(x-\frac{1}{2}\right)^2$ (fácil de resolver).

Answer 2

Demasiado largo para un comentario.

Respecto a lo que escribiste en la nota sobre las formas invertibles $$x^2+(1-x)^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}(2x - 1)^2$$ $$x^3+(1-x)^3 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4}(2x - 1)^2$$ considere $$y=x^k+(1-x)^k$$ y que $x=\frac {1+u}2$ es decir $u=(2x-1)$ . Esto hace que $$y=2^{-k} \left((1+u)^k+(1-u)^k\right)\implies 2^k y=(1+u)^k+(1-u)^k$$

Ahora, ampliar como Taylor serie alrededor de $u=0$ para obtener $$2^k y-2=(k-1) k u^2+\frac{(k-3) (k-2) (k-1) k}{12} u^4+O\left(u^6\right)$$ Obsérvese que, puesto que $u \leq \frac 12$ la relación entre el segundo término y el primero es como máximo $\frac{(k-3) (k-2)}{48}$ que, para $2\leq k \leq 3$ es, en valor absoluto, inferior a $\frac 1{192}$ . Esto justifica la función de $O\left(u^4\right)$ y la fórmula que propones antes de ajustar la potencia para un mejor ajuste (para la compensación de los términos despreciados).

Answer 3

Puede que no exista una expresión exacta en términos de funciones elementales para la inversa $f^{-1}$ de una función $f$ . Sin embargo, hay varias formas de aproximar sistemáticamente la inversa. Una podría ser la siguiente. Elija varios puntos de datos $(x,f(x))$ para su función $f$ (donde se define la inversa). Entonces, la inversa satisface $(x,f^{-1}(x)) = (f(x),x)$ . Una vez que encuentre estos puntos de datos (básicamente volteando $x$ y $f(x)$ ), puede ajustar una curva de regresión precisa que se aproxime a sus datos $(x,f^{-1}(x))$ . Si su función es un polinomio, puede elegir una base polinómica (por ejemplo, {1,x,x^2,x^3,...x^n}). Entonces, su inversa aproximada tendrá la forma $$f^{-1}(x) = a_0+a_1x+a_2x^2 + \cdots a_nx^n.$$

Answer 4

Además de la respuesta pertinente de Claude Leibovici, ésta es una forma alternativa de expansión en serie, con una potencia más general ( $a$ en lugar de $2.2$ ). $$f(x)=x^a+(1-x)^a \tag 1$$ Evidentemente, la curva que representa $f(x)$ es simétrica con respecto a $x=\frac12$ . El mínimo de $f$ es $2^{1-a}$ . Esto sugiere el cambio de variables : $$\begin{cases} x=\frac12+X \\ f=2^{1-a}(1+Y^2)^a \end{cases} \quad\implies\quad \left(\frac12+X\right)^a+\left(\frac12-X\right)^a =2^{1-a}(1+Y^2)^a \tag 2$$ Para la función inversa buscamos una expansión en serie de la forma : $$X=c_0+c_1Y+c_2Y^2+...+c_kY^k+...$$ En la Ec. $(2)$ sustituimos $X$ por la serie de potencias de $Y$ e identificamos los coeficientes. El resultado es : $$c_0=c_2=c_4=c_6=0$$ $$c_1=\frac{1}{\sqrt{2(a-1)}}$$ $$c_3=\frac{\sqrt{2}}{24}\frac{(a+1)(2a-3)}{(a-1)^{5/2}}$$ $$c_5=\frac{\sqrt{2}}{2880}\frac{(a+1)(12a^3-40a^2+47a-45}{(a-1)^{5/2}}$$ El cálculo se hizo sólo hasta $c_5$ que es suficiente para una precisión muy buena.

La función inversa es : $$\boxed{x\simeq \frac12+c_1Y+c_3Y^3+c_5Y^5 \quad\text{with}\quad Y=\pm\sqrt{(2^{a-1}f)^{1/a}-1}}$$

RESULTADO en caso de $a=2.2$ : $$a_1=0.645497224368$$ $$a_3=0.200821358692$$ $$a_5=-0.007395326225$$

En los cuadros siguientes $f_k$ son los valores dados. $x_k$ son los valores calculados.

On puede comparar los $f_k$ con el $f_k\simeq (x_k)^{2.2}+(1-x_k)^{2.2}$ .

Rama $+$ de la raíz cuadrada :

Rama $-$ de la raíz cuadrada :

Answer 5

No es una respuesta útil, pero quería intentarlo de todos modos.

Intentemos realizar una operación de inversión en un dominio en el que es trivial: en coordenadas polares.

$$y = x^{2.2}+(1-x)^{2.2}\tag{1}$$ $$r\sin{\theta} = (r\cos{\theta})^{2.2}+(1-r\cos{\theta})^{2.2}\tag{2}$$

La inversión es una rotación alrededor de una línea $\theta = \pi/4$ . Obtenemos la ecuación rotada sustituyendo $\theta$ con $(\frac{\pi}{2} - \theta)$ . También podemos observar que

$$\sin{(\frac{\pi}{2} - \theta)} = \cos{\theta}$$ $$\cos{(\frac{\pi}{2} - \theta)} = \sin{\theta}$$

Y la ecuación rotada en coordenadas polares tiene este aspecto:

$$r\cos{\theta} = (r\sin{\theta})^{2.2}+(1-r\sin{\theta})^{2.2}\tag{3}$$

Muy bonito, ¿verdad?

Ahora vamos a intentar volver a las coordenadas cartesianas. (Nota: sólo nos preocupa el primer cuadrante del plano polar).

$$r = \sqrt{x^2 + y^2}$$ $$\theta = \tan^{-1}{(y/x)}$$ $$\cos{(\tan^{-1}{(y/x)})} = \frac{1}{\sqrt{(y/x)^2+1}}$$ $$\sin{(\tan^{-1}{(y/x)})} = \frac{y/x}{\sqrt{(y/x)^2+1}}$$

$$\frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{\sqrt{(y/x)^2 + 1}} = \left(\frac{y}{x}\frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{\sqrt{(y/x)^2 + 1}}\right)^{2.2} + \left(1 - \frac{y}{x}\frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{\sqrt{(y/x)^2 + 1}}\right)^{2.2}\tag{4}$$

Podemos entonces simplificar esta ecuación a lo siguiente:

$$x = y^{2.2}+(1-y)^{2.2}\tag{5}$$

Lo cual es tan tonto como obvio. (Como el nivel de obviedad del Capitán Obvio...) Y volvemos al punto de partida.