¿Cuáles son los dominios de la multiplicación y los morfismos unitarios de un objeto monoide?

Question

Estoy tratando de entender lo que es un Monoid es a partir de la categoría teoría de la perspectiva, pero estoy un poco confundida con la notación utilizada para describirlo. Aquí está la Wikipedia:

En la categoría de teoría, un monoid (o monoid objeto) $(M, \mu, \eta)$ en una categoría monoidal $(\mathcal{C}, \otimes, I)$ es un objeto $M$ junto con dos morfismos

• $\mu: M \otimes M \to M$ llama multiplicación,
• $\eta: I \to M$ llama unidad, [...]

Mi confusión es acerca de morfismos de notación. ¿Por qué es la operación binaria $\otimes$ parte de los morfismos de notación? Mi comprensión de morfismos es que es un tipo de función que puede asignar un tipo a otro (dominio codominio) como $M \to M$ ... ¿por Qué es la operación $\otimes$ forman parte del dominio en la definición?

La segunda es la confusión acerca de la $I$. Por qué $I$ es un dominio... no es $I$ objeto en un Monoid a todos. Es sólo el elemento neutro de objeto $M$.

Entiendo que un Monoid es una categoría con un objeto, identidad de morfismos y operación binaria definida en este objeto, pero la nota me hace pensar que no entiendo algo.

Es $M \otimes M$ de alguna manera relacionados con el producto cartesiano, por lo que el dominio de los morfismos se define como $M \times M$ ?

Answer 1

Ordinaria monoid es un conjunto $M$ equipado con un mapa de $\mu\colon M\times M\to M$ y un elemento $e\in M$ que son los axiomas satisfecho.

Ahora el objetivo de la definición que se cita (monoid objeto en una categoría monoidal) es generalizar la noción de ordinario monoid a la más general categórica contexto posible.

El primer paso es observar que en una categoría general que no tiene ningún sentido hablar de un "elemento" de un objeto. Así que vamos a reemplazar el elemento $e\in M$ con un mapa de $e\colon 1\to M$, donde $1 = \{*\}$ es un conjunto con un solo elemento. El punto es que (en la categoría de conjuntos) que especifica un mapa de $1\to M$ es exactamente la misma que la especificación de un elemento de $M$: dado un elemento $e\in M$, podemos definir un mapa de $1\to M$ por $*\mapsto e$, y da un mapa $e\colon 1\to M$, se puede definir un elemento de $M$ por $e(*)$.

Ok, ahora queremos generalizar lejos de la categoría de conjuntos y hablar de monoids que viven en otras categorías. Así que vamos a $\mathcal{C}$ ser una categoría. Un monoid en $\mathcal{C}$ debe ser un objeto de $M$ en $\mathcal{C}$ junto con los mapas de $\mu$ e $e$ la satisfacción de ciertos axiomas. Para hacer sentido de los mapas de $\mu$ e $e$, tenemos:

• Una determinada forma de poner dos copias de $M$ juntos para hacer que el dominio de $\mu$, de forma análoga a $M\times M$ en el caso de conjuntos. Vamos a denotar esta por $M\otimes M$.
• Un objeto especial para ser el dominio de $e$, de forma análoga a $1$ en el caso de conjuntos. Vamos a denotar esta por $I$.

La operación $\otimes$ sobre los objetos y el objeto especial $I$ son los datos básicos de una categoría monoidal.

Si $\mathcal{C}$ ha finito productos, le invitamos a definir $\otimes$ a $\times$ e $I$ a ser el terminal de objeto $1$. Este es el llamado Cartesiano estructura monoidal. Pero el punto es que no necesitamos $M\otimes M$ a y $I$ a ser el terminal de objetos con el fin de hacer sentido de la definición de monoid.

Nos hacemos necesidad de asumir un poco más acerca de $\otimes$ e $I$ con el fin de hacer sentido de la monoid axiomas. En particular, necesitamos $\otimes$ a ser asociativa (hasta el isomorfismo), $$M\otimes(M\otimes M) \cong (M\otimes M)\otimes M,$$ and we need $I$ to act as an identity for $\otimes$ up to isomorphism, i.e. $$M\cong I\otimes M\cong M\otimes I.$$ Hacer todo esto de manera apropiada functorial y natural que nos conduce directamente a la definición completa de la categoría monoidal.