En la fase aguda $\triangle ABC$, la posición de cada punto es como se muestra, $F$ es el punto medio de la $BD$, $G$ es el punto medio de la $CE$, $F$ no es en $CE$, e $G$ no es en $BD$. Se sabe que $S_{\triangle AFG} = 1$, y el área del cuadrilátero $BCDE$ se obtiene?
Una imprecisa respuesta: teniendo en cuenta $D$, $E$ e $A$ coinciden, es fácil saber que el área del cuadrilátero $BCDE$ es $4$.
O: "o sea $\overrightarrow{AB}=\vec{a}, \overrightarrow{AC}= \vec{b}, \overrightarrow{AE}=\lambda_1 \vec{a}, \overrightarrow{AD}=\lambda_2 \vec{b}, (0 < \lambda_1, \lambda_2<1)$, luego \begin{aligned} S_{\triangle ABC} &= \frac12|\vec{a}\times\vec{b}| \\ S_{\triangle AED} &=\frac12 \lambda_1 \lambda_2|\vec{a} \times \vec{b}| \\ S_{BCDE} &=S_{\Delta A B C}-S_{\Delta A E D} \\ &=\frac{1}{2}\left(1-\lambda_{1} \lambda_{2}\right)|\vec{a} \times \vec{b}| \end{aligned} $\because$ $$\overrightarrow{AF}=\frac{\vec{a}+\lambda_2 \vec{b}}{2} \quad \overrightarrow{A G}=\frac{\lambda_{1} \vec{a}+\vec{b}}{2}$$
$\therefore$
\begin{aligned} S_{\Delta A F G} &=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{A F} \times \overrightarrow{A G}\right| \\ &=\frac{1}{8}\left|\left(\vec{a}+\lambda_{2} \vec{b}\right) \times\left(\lambda_{1} \vec{a}+\vec{b}\right)\right| \\ &=\frac{1}{8}\left(1-\lambda_{1} \lambda_{2}\right)|\vec{a} \times \vec{b}| \end{aligned}
$\therefore$ $$ \frac{S_{\triangle AFG}}{S_{BCDE}}=\frac{1}{4} \Longrightarrow S_{BCDE}=4$$
Ahora, necesito una puramente enfoque geométrico para resolver este problema, pero no tengo ni idea. Podría alguien ayudarme? Muchas gracias.
Respuesta
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Deje $P$ ser el punto medio de la $DE.$ Muestran que $PF \| AB$ e $PG \| AC.$ Mostrar que $P$ se encuentra en el interior de $\triangle AFG,$ y por lo tanto $$S_{\triángulo AFG} = S_{\triángulo AFP} + S_{\triángulo AGP} + S_{\triángulo PFG}.$$ Mostrar que $S_{\triangle AFP} = S_{\triangle EFP}$ y $S_{\triangle AGP} = S_{\triangle DGP}$. Demostrar que el área del cuadrilátero $DEFG$ es $$S_{DEFG} = S_{\triangle EFP} + S_{\triangle PFG} + S_{\triangle DGP}$$ y, por tanto, $S_{\triangle AFG} = S_{DEFG}.$
Ahora muestran que $$S_{DEFG} = S_{\triángulo DEF} + S_{\triángulo DFG} = \tfrac12 S_{\triángulo DEB} + \tfrac12 S_{\triángulo DBG} = \tfrac12 S_{DEBG}$$ y que $$S_{DEBG} = S_{\triángulo DEG} + S_{\triángulo INICIO} = \tfrac12 S_{\triángulo DEC} + \tfrac12 S_{\triángulo BEC} = \tfrac12 S_{BCDE}.$$ Por lo tanto, $S_{DEFG} = \frac14 S_{BCDE}.$
